Dwumiany Newtona

Dwumiany

Rozwińmy kilka dwumianów:

dwumian Newtona

dwumian Newtona  Jak to obliczyć inaczej?

dwumian Newtona  Jak to obliczyć inaczej?

dwumian Newtona  Jak to obliczyć inaczej?

dwumian Newtona  Jak to obliczyć inaczej?

dwumian Newtona

Wzór możemy uogólnić:

dwumian Newtona

dwumian Newtona

gdzie k jest pewną liczną naturalną mniejszą od n

Dwumian Newtona

Nasze dwumiany możemy zapisać również tak:

dwumian Newtona

dwumian Newtona

dwumian Newtona

dwumian Newtona

dwumian Newtona

dwumian Newtona

Wzór możemy uogólnić:

dwumian Newtona

Ten sam wzór można też zapisać jako:

dwumian Newtona

gdzie dwumian Newtona jest znakiem sumy.

Szereg Newtona

W przypadku gdy dwumian Newtona wzór przyjmuje postać:

dwumian Newtona

Inne wzory

Gdy jedna z liczb jest ujemna:

dwumian Newtona

Przykłady

Przykład 1

Obliczanie kolejnych rozwinięć dwumianu jest pracochłonne i łatwo można popełnić błędy. Lepiej robić to automatycznie. Obliczmy automatycznie rozwinięcie dwumianu dwumian Newtona dla pierwszych 6 wartości n

A oto wynik:

(x + y)0 = 1
(x + y)1 = x + y
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
            

Jak widać brakuje nam tylko podniesienia wykładników ponad tekst. Można by oczywiście dodać np. symbol "^", ale dla czytelności pozostawiamy tak jak jest.

Przykład 2

Metoda oczywiście będzie tym użyteczniejsza im wyższa potęga dwumianu. Obliczymy rozwinięcie dwumianu dla n = 20

A oto wynik:

(x + y)20 = x20 + 20x19y + 190x18y2 + 1140x17y3 + 4845x16y4 + 15504x15y5 + 
38760x14y6 + 77520x13y7 + 125970x12y8 + 167960x11y9 + 184756x10y10 + 
167960x9y11 + 125970x8y12 + 77520x7y13 + 38760x6y14 + 15504x5y15 + 4845x4y16 + 
1140x3y17 + 190x2y18 + 20xy19 + y20
            

Komputer obliczył to i wydrukował w ułamku sekundy.