Michał Heller

Wykład,
który
wstrząsnął światem

Copernicus Center Press

Spis treści

Karta redakcyjna

Wprowadzenie: O dojrzewaniu idei

Rozdział 1: Triangulacja wszechświata

1. Od Euklidesa do Saccheriego i Lamberta

2. Problem, który będzie można rozstrzygnąć w życiu przyszłym

3. Wuj i siostrzeniec

4. Krzywizna Gaussa

Rozdział 2: Przyjaciel Gaussa i jego syn

1. Ciernista droga

2. Rozczarowanie

Rozdział 3: Z Aleksandrii do Kazania

1. Na uniwersytecie w Kazaniu

2. Dziedzictwo

3. Pangeometria

4. Filozoficzne przemyślenia

5. Niewczesny triumf

Rozdział 4: Wykład, który wstrząsnął światem

1. Kolokwium

2. Wykład

3. Filozoficzna magia liczb zespolonych

4. Inspiracje i intuicje: nowe w matematyce

5. Koniec drogi

Przypisy

© Copyright by Copernicus Center Press, 2016

Publikacja dofinansowana z grantu Science for Ministry in Poland przyznanego Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych przez John Templeton Foundation

ISBN 978-83-7886-253-6

Wydanie I

Kraków 2016

Copernicus Center Press Sp. z o.o.
pl. Szczepański 8, 31-011 Kraków
tel./fax (+48 12) 430 63 00
e-mail: marketing@ccpress.pl
Księgarnia internetowa: http://en.ccpress.pl

Konwersja: eLitera s.c.

Wprowadzenie:
O dojrzewaniu idei

Wykład, który wstrząsnął światem – w każdym razie światem matematyki, a resztą świata pośrednio. Bo przecież cała nowoczesna technika, która przeobraziła postać świata, wywodzi się z matematyki, a gdyby nie wykład Riemanna (i jego inne matematyczne osiągnięcia), wielkie obszary dzisiejszej matematyki wyglądałyby inaczej i całkiem możliwe, że pozostałyby w nich dotychczas niewypełnione dziury. Osiągnięcia tej rangi, choć niewątpliwie są zasługą geniusza, muszą być poprzedzone długim procesem dojrzewania. W przypadku Riemanna proces ten rozpoczął się przynajmniej w III w.p.n.e, kiedy to Euklides podsumował i uzupełnił dotychczasowy dorobek Greków w dziedzinie geometrii. Z jego mrówczej pracy wyłoniła się konstrukcja, swoją harmonią i subtelnością planu przewyższająca najpiękniejsze dzieła greckiej architektury. Jednakże baczne oko matematyków i w tej konstrukcji wypatrzyło niepokojącą rysę – piąty postulat Euklidesa. Czy nie jest on zbytecznym elementem, naruszającym nieskazitelną jedność całości? Bo jeżeli da się go wyprowadzić z pozostałych postulatów, to po co umieszczać go wśród założeń, gdzie tylko niepotrzebnie zajmuje miejsce?

Problem okazał się niezwykle oporny. Wysiłki matematyków w ciągu wielu stuleci nie przyniosły jego rozstrzygnięcia. Nadal nie było wiadomo, czy piąty postulat jest, czy nie jest, niezależnym założeniem. Problem dotykał także filozofii, bo geometria jest nauką o przestrzeni, a natura przestrzeni od dawna była przedmiotem dociekań filozofów. Z chwilą powstania nauk empirycznych, problem stał się jeszcze bardziej palący. Nowa fizyka dzieje się w przestrzeni a geometryczna struktura przestrzeni staje się częścią fizycznych teorii. Nikt nie wątpił, że jest to struktura geometrii Euklidesa. Immanuel Kant nadał temu przekonaniu formę filozoficznego pewnika. Przestrzeń jest aprioryczną formą naszego poznania. Nie może być inna, bo taka a nie inna należy do wyposażenia naszego aparatu poznawczego.

Matematyczne problemy nie rozwijają się w izolacji jedne od drugich, lecz wzajemnie się przenikają i wspólnie kształtują swoje środowisko. W pierwszej połowie dziewiętnastego stulecia matematyczne środowisko dojrzało do rozwiązania problemu piątego postulatu Euklidesa. Trzech matematyków, niezależnie od siebie, dostrzegło metodę zdolną przełamać opór zagadnienia: Karl Gauss w Getyndze, centrum myśli matematycznej i dwóch mało znanych matematyków: János Bolyai, oficer armii austro-węgierskiej oraz Mikołaj Łobaczewski w odległym Kazaniu. Rozwiązanie okazało się zaskakujące. Zaprzeczając piaty postulat, nie uzyskuje się sprzeczności z pozostałymi postulatami, a więc jest on od nich niezależny. Euklides miał rację, że umieścił go wśród założeń systemu. Ale – i tu jest niespodzianka – zaprzeczenie piątego postulatu nie tylko nie prowadzi do sprzeczności, lecz również rodzi inne, nieeuklidesowe geometrie. Bolyai i Łobaczewski do końca życia walczyli o uznanie swoich wyników. Gauss przez długi czas starał się je ukryć przed opinią publiczną. Czyżby uważał, że poruszenie Ziemi i zatrzymanie Słońca przez Kopernika jest mało znaczącą rewolucją w zestawieniu ze stworzeniem nieskończenie wielu nowych przestrzeni? W każdym razie narodził się nowy problem: przestrzeń jest jedna a geometrii wiele; o czym właściwie mówi geometria?

Osobiste dramaty odkrywców nowej geometrii wplotły się w zawiłości splotu matematycznych i filozoficznych zagadnień.

Ale było to tylko preludium do dalszych osiągnięć.

Początkowo wydawało się, że problem piątego postulatu był tylko szczegółowym zagadnieniem, oderwanym od reszty matematyki, a jednak jego rozwiązanie przyniosło ogromne bogactwo geometrycznych możliwości – tak ogromne, że nie było wiadomo, jak sobie z nim poradzić. Zrodziła się potrzeba zupełnie nowego spojrzenia, aby w tym gąszczu uchwycić istotne rysy. Ażeby tego dokonać, należało ogarnąć wzrokiem także inne obszary matematyki, różne od tradycyjnie rozumianej geometrii. Spojrzenie takie przedstawił Bernhard Riemann w swoim habilitacyjnym wykładzie w Getyndze, w 1854 roku. Nie tylko wprowadziło ono ład do mnogości geometrii, ale stało się zalążkiem przyszłego rozwoju. Więcej niż zalążkiem – to był właściwie program (ze wskazaniem metod jego realizacji) nowego działu matematyki, który rzeczywiście wkrótce zaczął się bujnie rozwijać. Geometria różniczkowa, bo tak go nazwano, w ciągu kilku dziesięcioleci stała się nieodzownym narzędziem fizyki i motorem jej gwałtownych przemian na progu dwudziestego stulecia.

Wizjonerem nazywamy kogoś, kto błyskiem intuicji dostrzega perspektywy ukryte przed innymi. Często wizjonerów posądzamy o odrobinę szaleństwa. Riemann był wizjonerem, ale twardo chodzącym po ziemi. Jego wizja przyszłego rozwoju fizyki (w jej kosmologicznej i mikroskopowej skali) była wynikiem trzeźwych przewidywań, choć opartych na jeszcze niepełnej wiedzy. Jakby się potoczyła historia nauki, gdyby nie przedwczesna śmierć Riemanna?

Pozostał jeszcze filozoficzny problem stosunku geometrii do fizycznej przestrzeni. I tu Riemann postawił decydujący krok. W konstrukcji geometrii są jakby dwa piętra: Pierwsze, które jest matematycznym opisem wszystkiego, co rozciągłe; Riemann nazwał je rozmaitością. I drugie, niejako nałożone na rozmaitość, które umożliwia wykonywanie pomiarów długości; dziś nazywa się je metryką lub strukturą metryczną. Na tej samej rozmaitości można definiować różne metryki. Otrzymujemy wówczas różne geometrie. Która z wielu możliwych metryk jest właściwa do opisu fizycznej przestrzeni? – o tym musi zadecydować eksperyment. Geometria, jako część matematyki, jest nauka aprioryczną, ale gdy na rozmaitości wybierze się metrykę, zgodną z tym, co i jak rzeczywiście się mierzy, geometria staje się częścią fizycznej teorii. Riemann już to wiedział, ale filozofowie nauki dopiero znacznie później to przeanalizowali, opisali i ponazywali. Dziś mówimy o fizycznym modelu geometrycznej przestrzeni.

Znając obecny stan fizyki i patrząc wstecz na jej historię, jesteśmy mądrzy, bo wiemy co miało się stać i jak się stało, ale ci, którzy musieli walczyć z nieznanym, odkrywać jego okruchy i składać z nich fragmenty całości, czynili to z trudem i małymi krokami. W wizji Riemanna brakowało dwóch elementów: włączenia czasu do opisu rozmaitości i zinterpretowania współrzędnych metryki na rozmaitości jako potencjałów pola grawitacyjnego. Odkrycie przez Einsteina ogólnej teorii względności od habilitacyjnego wykładu Riemanna dzieliło 61 lat. Idee dojrzewają wedle swoich praw.

11 sierpnia 2016 roku

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki