Dane oryginału

COMPLETE BUSINESS STATISTICS

Amir D. Aczel, Jayavel Sounderpandian

Seventh edition

McGraw-Hill/Irwin

Projekt okładki i stron tytułowych

Małgorzata Smogorzewska

Wydawca

Dorota Siudowska-Mieszkowska

Koordynator ds. redakcji

Renata Ziółkowska

Redaktor

Barbara Jaworska

Koordynator produkcji

Mariola Iwona Keppel

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN

mobisfera.pl

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo

Więcej na www.legalnakultura.pl

Polska Izba Książki

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2000, 2018

Original edition copyright © 2009, 2006, 2002, 1999, 1996, 1993, 1989 by McGraw-Hill/Irwin, a business unit of The McGraw-Hill Companies, Inc., 1221 Avenue of the Americas, New York, NY, 10020. All rights reserved.

Polish edition copyright © 2018 by Wydawnictwo Naukowe PWN. All rights reserved.

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2018 r., (wyd. II)

Warszawa 2018

ISBN 978-83-01-19537-3

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Spis treści

1. Okładka

2. Strona tytułowa

3. Strona redakcyjna

4. Spis treści

5. Przedmowa

6. O Autorach

7. Przedmowa od Tłumacza

8. 1. Wprowadzenie i statystyka opisowa

1. 1.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 1.2. Percentyle i kwartyle

3. 1.3. Miary tendencji centralnej

4. 1.4. Miary zmienności

5. 1.5. Grupowanie danych i histogramy

6. 1.6. Skośność i kurtoza

7. 1.7. Związek między średnią a odchyleniem standardowym

8. 1.8. Metody prezentacji danych

9. 1.9. Wstępna analiza danych

10. 1.10. Wykorzystanie komputera

11. 1.11. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

12. Studium przypadku 1: Wahania NASDAQ

9. 2. Prawdopodobieństwo

1. 2.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 2.2. Podstawowe definicje: zdarzenia, przestrzeń prób i prawdopodobieństwa

3. 2.3. Podstawowe reguły prawdopodobieństwa

4. 2.4. Prawdopodobieństwo warunkowe

5. 2.5. Niezależność zdarzeń

6. 2.6. Zagadnienia z kombinatoryki

7. 2.7. Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa

8. 2.8. Tabela prawdopodobieństwa łącznego

9. 2.9. Wykorzystanie komputera

10. 2.10. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

11. Studium przypadku 2: Podania o pracę

10. 3. Zmienne losowe

1. 3.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 3.2. Wartość oczekiwana skokowej zmiennej losowej

3. 3.3. Suma i kombinacje liniowe zmiennych losowych

4. 3.4. Rozkład zero-jedynkowy

5. 3.5. Zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym

6. 3.6. Rozkład ujemny dwumianowy

7. 3.7. Rozkład geometryczny

8. 3.8. Rozkład hipergeometryczny

9. 3.9. Rozkład Poissona

10. 3.10. Zmienne losowe ciągłe

11. 3.11. Rozkład jednostajny

12. 3.12. Rozkład wykładniczy

13. 3.13. Wykorzystanie komputera

14. 3.14. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

15. Studium przypadku 3: Testowanie koncepcji

11. 4. Rozkład normalny

1. 4.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 4.2. Własności rozkładu normalnego

3. 4.3. Standardowy (standaryzowany) rozkład normalny

4. 4.4. Przekształcenia normalnej zmiennej losowej

5. 4.5. Przekształcenie odwrotne

6. 4.6. Szablon w arkuszu kalkulacyjnym

7. 4.7. Rozkład normalny jako przybliżenie rozkładu dwumianowego

8. 4.8. Wykorzystanie komputera

9. 4.9. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

10. Studium przypadku 4: Gwoździe do przyjęcia

11. Studium przypadku 5: Decyzja wielowalutowa

12. 5. Dobór próby i rozkłady statystyk z próby

1. 5.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 5.2. Statystyki z próby jako estymatory parametrów populacji

3. 5.3. Rozkłady statystyk z próby

4. 5.4. Estymatory i ich własności

5. 5.5. Stopnie swobody

6. 5.6. Wykorzystanie komputera

7. 5.7. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

8. Studium przypadku 6: Produkcja kołków – dobieranie próby

13. 6. Przedziały ufności

1. 6.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 6.2 Przedział ufności dla średniej z populacji, kiedy znane jest odchylenie standardowe w populacji

3. 6.3. Przedziały ufności dla µ, gdy σ jest nieznane. Rozkład t

4. 6.4. Przedziały ufności dla frakcji populacji, gdy próba jest duża

5. 6.5. Przedziały ufności dla wariancji w populacji

6. 6.6. Wyznaczanie liczebności próby

7. 6.7. Szablon w arkuszu kalkulacyjnym

8. 6.8. Wykorzystanie komputera

9. 6.9. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

10. Studium przypadku 7: Sondaż kandydata na prezydenta

11. Studium przypadku 8: Problem prywatności

14. 7. Weryfikacja hipotez statystycznych

1. 7.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 7.2. Podstawowe idee związane z weryfikacją hipotez

3. 7.3. Wyznaczanie wartości p

4. 7.4. Testy statystyczne

5. 7.5. Decyzje oparte na testach wstępnych

6. 7.6. Wykorzystanie komputera

7. 7.7. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

8. Studium przypadku 9: Zużyte opony 1

15. 8. Porównywanie dwóch populacji

1. 8.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 8.2. Porównywanie wyników obserwacji zestawionych w pary

3. 8.3. Testowanie różnicy między średnimi w dwóch populacjach na podstawie niezależnych prób losowych

4. 8.4. Test dla frakcji w dwóch populacjach w przypadku dużych prób

5. 8.5. Rozkład F i test dla wariancji w dwóch populacjach

6. 8.6. Wykorzystanie komputera

7. 8.7. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

8. Studium przypadku 10: Zużyte opony 2

16. 9. Analiza wariancji

1. 9.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 9.2. Weryfikacja hipotez w analizie wariancji

3. 9.3. Teoria i obliczenia ANOVA

4. 9.4. Tablica ANOVA i przykłady

5. 9.5. Dalsza analiza

6. 9.6. Modele, czynniki, układy eksperymentów

7. 9.7. Dwuczynnikowa (podwójna) analiza wariancji

8. 9.8. Układ blokowy

9. 9.9. Wykorzystanie komputera

10. 9.10. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

11. Studium przypadku 11: Ocenianie win

12. Studium przypadku 12: Sprawdzanie kas

17. 10. Regresja liniowa prosta i korelacja

1. 10.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 10.2. Model regresji liniowej prostej

3. 10.3. Szacowanie (estymacja): metoda najmniejszych kwadratów

4. 10.4. Wariancja resztowa i błędy standardowe estymatorów regresji

5. 10.5. Korelacja

6. 10.6. Testy hipotez związanych z regresją

7. 10.7. Na ile dobra jest regresja?

8. 10.8. Tablica analizy wariancji i test F w modelu regresji

9. 10.9. Analiza reszt i sprawdzanie poprawności modelu

10. 10.10. Wykorzystywanie modelu regresji do prognozowania (przewidywania)

11. 10.11. Wykorzystanie komputera

12. 10.12. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

13. Studium przypadku 13: Dźwignia finansowa przedsiębiorstwa a prawa akcjonariuszy

14. Studium przypadku 14: Ryzyko i stopa zwrotu

18. 11. Regresja wieloraka

1. 11.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 11.2. Model regresji wielorakiej z k zmiennymi objaśniającymi

3. 11.3. Test F w modelu regresji wielorakiej

4. 11.4. Na ile dobre jest równanie regresji?

5. 11.5. Testy istotności poszczególnych zmiennych objaśniających

6. 11.6. Sprawdzanie poprawności modelu regresji

7. 11.7. Zastosowanie modelu regresji wielorakiej w celach prognostycznych

8. 11.8. Jakościowe zmienne objaśniające

9. 11.9. Regresja wielomianowa

10. 11.10. Modele nieliniowe i ich przekształcenia

11. 11.11. Współliniowość

12. 11.12. Autokorelacja składnika losowego i test Durbina–Watsona

13. 11.13. Częściowy test F i metody doboru zmiennych objaśniających

14. 11.14. Wykorzystanie komputera

15. 11.15. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

16. Studium przypadku 15: Zwroty z kapitału w czterech sektorach

19. 12. Szeregi czasowe,prognozowanie i indeksy

1. 12.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 12.2. Analiza trendu

3. 12.3. Sezonowość i cykliczność

4. 12.4. Metoda średniej ruchomej

5. 12.5. Metody wygładzania wykładniczego

6. 12.6. Wskaźniki (indeksy)

7. 12.7. Wykorzystanie komputera

8. 12.8. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

9. Studium przypadku 16: Prognozowanie sprzedaży części samochodowych

20. 13. Kontrola i poprawa jakości

1. 13.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 13.2. W. Edwards Deming instruuje

3. 13.3. Statystyka i jakość

4. 13.4. Karta kontrolna x

5. 13.5. Karta kontrolna R i karta kontrolna s

6. 13.6. Karta kontrolna p

7. 13.7. Karta kontrolna c

8. 13.8. Karta kontrolna x

9. 13.9. Wykorzystanie komputera

10. 13.10. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

11. Studium przypadku 17: Kontrola i poprawa jakości w Nashua Corporation

21. 14. Metody nieparametryczne i testy chi-kwadrat

1. 14.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 14.2. Test znaków

3. 14.3. Test serii – test losowości

4. 14.4. Test U Manna–Whitneya

5. 14.5. Test rangowanych znaków Wilcoxona

6. 14.6. Test Kruskala–Wallisa – nieparametryczna alternatywa dla jednokierunkowej ANOVA

7. 14.7. Test Friedmana dla ulosowionego (zrandomizowanego), zblokowanego planu eksperymentu

8. 14.8. Współczynnik korelacji rang Spearmana

9. 14.9. Test zgodności chi-kwadrat

10. 14.10. Analiza tablic wielodzielczych – test niezależności chi-kwadrat

11. 14.11. Test równości frakcji (test jednorodności) chi-kwadrat

12. 14.12. Wykorzystanie komputera

13. 14.13. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

14. Studium przypadku 18: Dziewięć krain Ameryki Północnej

22. 15. Statystyka bayesowska i analiza decyzji

1. 15.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 15.2. Twierdzenie Bayesa dla dyskretnych modeli probabilistycznych

3. 15.3. Twierdzenie Bayesa dla ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa

4. 15.4. Wyznaczanie subiektywnych prawdopodobieństw

5. 15.5. Analiza decyzji: przegląd ogólny

6. 15.6. Drzewa decyzyjne

7. 15.7. Korzystanie z dodatkowych informacji za pomocą twierdzenia Bayesa

8. 15.8. Użyteczność

9. 15.9. Wartość informacji

10. 15.10. Wykorzystanie komputera

11. 15.11. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

12. Studium przypadku 19: „Pizzas ‘R’ Us”

13. Studium przypadku 20: Opracowanie nowego leku

23. 16. Metody doboru próby

1. 16.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 16.2. Nielosowy dobór próby i błąd obciążenia

3. 16.3. Losowanie warstwowe

4. 16.4. Losowanie zespołowe

5. 16.5. Losowanie systematyczne

6. 16.6. Odmowy odpowiedzi

7. 16.7. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

8. Studium przypadku 21: Urząd ds. Przebudowy Bostonu

24. 17. Analiza wielowymiarowa

1. 17.1. Praktyczne zastosowanie statystyki

2. 17.2. Wielowymiarowy rozkład normalny

3. 17.3. Analiza dyskryminacyjna

4. 17.4. Składowe główne oraz analiza czynnikowa

5. 17.5. Wykorzystanie komputera

6. 17.6. Podsumowanie i przegląd głównych pojęć

7. Studium przypadku 22: Przewidywanie upadku firmy

25. Dodatek A. Bibliografia

26. Dodatek B. Odpowiedzi do większości zadań o numerach nieparzystych

27. Dodatek C. Tablice statystyczne

28. Wprowadzenie do podstaw Excela

29. Praca z szablonami

30. Przypisy

8.5. Rozkład F i test dla wariancji w dwóch populacjach

W tym podrozdziale poznamy ostatni z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa stosowanych w badaniach statystycznych. Jest nim rozkład F, nazwany tak od pierwszej litery nazwiska angielskiego statystyka Sir Ronalda A. Fishera, który ten rozkład odkrył w 1924 r.

Rozkład F jest rozkładem ilorazu dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie chi-kwadrat, podzielonych przez właściwe dla nich liczby stopni swobody.

Niech będzie zmienną losową chi-kwadrat o k_1 stopniach swobody, a  inną zmienną losową chi-kwadrat, niezależną od poprzedniej, o k_2 stopniach swobody. Wtedy iloraz we wzorze 8.15 ma rozkład F o k_1 i k_2 stopniach swobody.

Zmienna losowa F o k_1i k_2 stopniach swobody:

(8.15)

Rozkład F charakteryzują dwie liczby stopni swobody: k_1, zwana liczbą stopni swobody w liczniku, i k_2, zwana liczbą stopni swobody w mianowniku. Zawsze wymienia się najpierw pierwszą, a potem drugą z tych liczb. Pierwsza jest związana ze zmienną chi-kwadrat występującą w liczniku, a druga – ze zmienną chi-kwadrat występującą w mianowniku wzoru 8.15.

Ponieważ jest wiele możliwych kombinacji stopni swobody zmiennej losowej F, tablice podające jej wartość przy zadanym prawdopodobieństwie są jeszcze bardziej zwięzłe niż tablice zmiennej chi-kwadrat. Tablica 5 w dodatku C podaje wartości krytyczne Fα dla rozkładu F przy różnych liczbach stopni swobody w liczniku i w mianowniku, odpowiadające prawostronnym obszarom dla α = 0,10; 0,05; 0,025 i 0,01. Druga część tablicy 5 podaje wartości krytyczne przy α = 0,05 i α = 0,01 dla szerszego zakresu zmiennych losowych F. Wykorzystajmy tablicę 5 do przekonania się, że punkt 3,01 odcina pole o mierze 0,05 z prawej strony pod krzywą gęstości rozkładu zmiennej losowej F, o 7 stopniach swobody w liczniku i 11 stopniach swobody w mianowniku, co pokazano na rysunku 8.12. Na rysunku 8.13 pokazano rozkłady F o różnej liczbie stopni swobody (w liczniku i w mianowniku). Rozkłady F są niesymetryczne (własność, którą dziedziczą po swoich macierzystych rozkładach chi-kwadrat), a kształtem przypominają rozkłady chi-kwadrat. Zauważmy, że F(7, 11) ≠ F(11,7). Dlatego trzeba zwracać uwagę, która liczba stopni swobody odnosi się do licznika, a która do mianownika.

Rysunek 8.12. Rozkład F o 7 i 11 stopniach swobody

Rysunek 8.13. Kilka rozkładów F

Tablica 8.2 (uzupełniona rysunkiem) jest reprodukcją części tablicy 5 z dodatku C, pokazującą punkty (wartości) odcinające z prawej strony pod krzywą gęstości rozkładu pola o mierze α = 0,05 przy różnych kombinacjach stopni swobody w liczniku i w mianowniku.

Tablica 8.2. Krytyczne punkty (wartości) odcinające z prawej strony pod krzywą gęstości rozkładu pole o mierze 0,05, dla wybranych rozkładów F

10.2. Model regresji liniowej prostej

Jak wiemy z algebry, linia prosta jest opisana równaniem Y = A + BX, gdzie A reprezentuje punkt przecięcia z osią rzędnych, a B – nachylenie linii. W przypadku regresji liniowej prostej modelujemy zależność między dwiema zmiennymi X i Y jako linię prostą. Dlatego nasz model musi zawierać dwa parametry: parametr przecięcia [inaczej: wyraz wolny lub stała – przyp. tłum.]) i parametr nachylenia [współczynnik kierunkowy – przyp. tłum.])[3]. W powszechnie przyjętym zapisie wyraz wolny dla populacji oznacza się przez β_0, a nachylenie dla populacji przez β_1. Dodając składnik (błąd) losowy ε, model regresji dla populacji dany jest równaniem 10.1.

Model regresji liniowej prostej dla populacji jest następujący:

Y = β_0 + β_1X + ε,(10.1)

gdzie Y jest zmienną objaśnianą (zależną), tj. zmienną, której kształtowanie się chcemy wyjaśnić lub przewidzieć, X jest zmienną objaśniającą (niezależną), nazywaną też predyktorem lub regresorem, a ε jest składnikiem (błędem) losowym, czyli jedynym losowym komponentem modelu i tym samym jedynym źródłem losowości Y.

Parametry modelu są następujące:

β_0 jest punktem przecięcia z osią rzędnych linii prostej Y = β_0 + β_1X (linia nie zawiera składnika losowego),

β_1 jest nachyleniem linii Y = β_0 + β_1X.

Model regresji liniowej prostej dany równaniem 10.1 składa się z dwóch elementów: składnika nielosowego, którym jest sama linia prosta, oraz składnika (błędu) losowego ε. Pokazano to na rysunku 10.4. Nielosowy składnik modelu (linia prosta) jest równaniem średniej wartości Y, przy danej wartości X. Oznaczamy warunkową średnią wartość Y przy danym X przez A zatem, jeżeli model jest poprawny, to średnia wartość Y przy danej wartości X znajduje się dokładnie na linii regresji. Równanie średniej wartości Y, przy danym X, jest określone wzorem 10.2.

Rysunek 10.4.Model regresji liniowej prostej

Warunkowa średnia wartość Y wynosi:

(10.2)

Porównując równania 10.1 i 10.2, widzimy, że na podstawie naszego modelu każda wartość Y obejmuje średnią wartość Y dla danej wartości X (czyli linię prostą) oraz błąd losowy. Czasem będziemy używać uproszczonego zapisu E(Y) na oznaczenie linii, pamiętając jednak, że zawsze chodzi o warunkową średnią Y przy danej wartości X. Gdy X rośnie, średnia wartość Y w populacji też rośnie, jeśli nachylenie linii regresji jest dodatnie, lub maleje, gdy jest ujemne. Faktyczna wartość Y w populacji jest równa średniej warunkowej wartości Y względem X powiększonej o błąd (składnik) losowy ε. Dla danej wartości X możemy więc zapisać:

Y = średnia Y przy danym X + błąd.

Model regresji dla populacji pokazano na rysunku 10.5.

Rysunek 10.5. Linia regresji dla populacji

Określimy teraz założenia modelu regresji liniowej prostej.

Założenia modelu regresji liniowej prostej:

1. Związek między X i Y jest związkiem liniowym.

2. Wartości zmiennej objaśniającej X są ustalone (nie są losowe). Jedyna losowość w wartościach Y pochodzi ze składnika (błędu) losowego ε.

3. Składniki (błędy) losowe ε mają rozkład normalny o średniej 0 i stałej wariancji σ^2. Składniki (błędy) losowe związane z kolejnymi obserwacjami nie są ze sobą skorelowane (ich rozkłady są od siebie wzajemnie niezależne)[4]. W przyjętej w tej książce symbolice:

ε ∼ N(0, σ2)(10.3)

(1 − α)100% przedział prognozy dla Y wynosi:

(10.32)

Jak widać z tego wzoru, rozpiętość przedziału zależy od odległości wartości x (dla której prognozujemy wartość Y) od średniej Pokazano to na rysunku 10.33.

Rysunek 10.32. Prognoza w przykładzie American Express

Rysunek 10.33 Przedział prognozy i jego rozpiętość

Skorzystamy z równania 10.32 do wyznaczenia 95% przedziału prognozy dla obciążenia karty kredytowej American Express przez posiadacza karty, który przebył trasę o długości 4000 mil. Wemy, że w tym przykładzie . Wiemy też, że SSX = 40 947 557,84, a s = 318,16. W tablicy 3 w dodatku C znajdujemy wartość krytyczną w rozkładzie t przy 23 stopniach swobody: 2,069. Stosując równanie 10.32, otrzymujemy:

5296,05 ± (2,069)(318,16) √1 + 1/25 + (4000 – 3177,92)2/40 947 577,84

= 5296,05 ± 676,62 = [4619,43, 5972,67]

Opierając się na wynikach badań, możemy być w 95% pewni, że posiadacz karty, który przebył trasę 4000 mil w okresie o danej długości, obciąży swoją kartę kredytową sumą od 4619,43 $ do 5972,67 $.

A jakie jest przeciętne obciążenie kart kredytowych wszystkich posiadaczy, którzy przebyli trasę 4000 mil? Wynosi ono Punktowa ocena jest także równa , ale przedział ufności jest inny.

Przedział ufności dla średniej Y przy danej wartości X

Możemy wyznaczyć przedział ufności dla , tj. oczekiwanej wartości Y przy danym X. Zmienność jest tu mniejsza, ponieważ mamy do czynienia z przeciętną, a nie określoną wartością Y dla danego X. Przedział ufności jest więc węższy od przedziału prognozy przy tym samym poziomie ufności. Przedział ufności dla jest określony wzorem 10.33.

(10.33)

Przedział ufności dla wokół linii regresji wygląda tak, jak przedział na rysunku 10.33, ale jest węższy. Błąd standardowy estymatora warunkowej średniej jest mniejszy niż błąd standardowy prognozowanego Y. Dlatego we wzorze 10.33 pod pierwiastkiem nie występuje liczba 1, która występuje we wzorze 10.32.

Rozdział 10

[3] W tłumaczeniu będziemy używać zamiennie pojęć „przecięcie”, „wyraz wolny” lub „stała”, a także terminów „nachylenie” lub „współczynnik kierunkowy” [przyp. tłum.].

[4] Pojęcie statystycznej korelacji zostanie szczegółowo wyjaśnione w podrozdziale 10.5. W przypadku składnika losowego modelu regresji, zakładamy, że kolejne błędy ε_1, ε_2, ε_3, … są nieskorelowane. Oznacza to, że nie są ze sobą związane, że nie występuje żaden trend oraz że nie ujawnia się wspólna tendencja kolejnych błędów. Warto dodać, że założenie braku korelacji wraz z założeniem normalnego rozkładu implikuje niezależność błędów. Niezależność pociąga za sobą brak korelacji, ale brak korelacji nie implikuje niezależności, poza przypadkiem, gdy rozkład jest normalny.