Michelle Enderson

Matematyka dla każdego: Liczby, Algebra, Geometria, Statystyka i Rachunek różniczkowy i całkowy

Projektant okładki Pixabay https://pixabay.com/pl/photos/liczby-edukacja-matematyka-4014181/

© Michelle Enderson, 2023

© Pixabay https://pixabay.com/pl/photos/liczby-edukacja-matematyka-4014181/, projekt okładki, 2023

Książka „Matematyka dla każdego” to kompleksowe źródło wiedzy. Zawiera wiele rozdziałów, w tym m.in. Liczby i operacje arytmetyczne, algebrę i równania, Funkcje matematyczne, Geometria analityczna oraz Statystyka i prawdopodobieństwo. Książka omawia także bardziej zaawansowane tematy, takie jak Rachunek różniczkowy i całkowy. Przy każdym rozdziale znajdują się zadania i przykłady. Książka jest napisana w sposób przystępny i zrozumiały.

ISBN 978-83-8351-135-1

Książka powstała w inteligentnym systemie wydawniczym Ridero

Spis treści

1. Matematyka dla każdego: Liczby, Algebra, Geometria, Statystyka i Rachunek różniczkowy i całkowy

2. Liczby

1. Rodzaje liczb i ich podział

2. Podstawowe operacje matematyczne

1. Dodawanie

2. Odejmowanie

3. Mnożenie

4. Dzielenie

5. Potęgowanie

6. Pierwiastkowanie

7. Zaokrąglanie

8. Porównywanie liczb

3. Dziedziny w których liczby większe i mniejsze niż pełnią ważną funkcję

4. Rodzaje różnych systemów liczbowych

1. System dziesiętny

2. System binarny

3. System ósemkowy

4. System szesnastkowy

5. System rzymski

6. System dwunastkowy

5. Rodzaje różnych właściwości liczb

6. Przykłady stosowania matematyki w życiu codziennym

1. Obliczanie kosztów zakupów

2. Obliczanie czasu i prędkości w podróży

3. Planowanie budżetu domowego

4. Kalkulowanie ilości materiałów potrzebnych do projektu

5. Obliczanie ilości paliwa potrzebnego do przejechania danej odległości

3. Algebra i równania

1. Równania

1. przykłady

2. Funkcje algebraiczne

3. Ograniczenia funkcji

4. Macierze i układy równań liniowych

5. Wielomiany

6. Algebra abstrakcyjna

7. Zastosowanie algebry w rożnych dziedzinach nauki

1. Zastosowania algebry w informatyce

2. Zastosowania algebry w fizyce

3. Zastosowania algebry w innych dziedzinach

8. Funkcje matematyczne

9. Rodzaje funkcji

10. Operacje na funkcjach

11. Właściwości funkcji

12. Zastosowanie funkcji w różnych dziedzinach

1. Fizyka

2. Chemia

3. Ekonomia

4. Biologia

5. Inżynieria

6. Informatyka

13. Równania i nierówności funkcyjne

4. Geometria analityczna

1. Układy współrzędnych

2. Wektory

3. Krzywe i powierzchnie

4. Transformacje geometryczne

5. Algebra liniowa

6. Geometria różniczkowa

7. Geometria algebraiczna

5. Statystyka i prawdopodobieństwo

1. Wprowadzenie do statystyki i prawdopodobieństwa

2. Rozkłady prawdopodobieństwa

3. Statystyki opisowe

4. Regresja i analiza korelacji

5. Testowanie hipotez

6. Analiza wariancji (ANOVA)

7. Przykłady zastosowania statystyki w praktyce

6. Rachunek różniczkowy i całkowy

1. Wstęp

2. Wprowadzenie do rachunku różniczkowego i całkowego

1. Definicje pojęć podstawowych

2. Zastosowanie rachunku różniczkowego

3. Zastosowanie rachunku całkowego

4. Twierdzenia i reguły rachunku różniczkowego i całkowego

3. Przykłady i ćwiczenia z rozwiązaniami

1. Przykład 1: Zastosowanie rachunku różniczkowego w fizyce

2. Przykład 2: Zastosowanie rachunku różniczkowego w geometrii

4. Różniczkowalność i ciągłość funkcji

5. Pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

1. Definicja pochodnej

2. Własności pochodnej

3. Interpretacja geometryczna pochodnej

4. Zastosowania pochodnej

5. Metoda Newtona-Raphsona

6. Reguła łańcuchowa i inne reguły różniczkowania

1. Reguła łańcuchowa

2. Reguła sumy

3. Reguła iloczynu

4. Reguła ilorazu

5. Reguła różniczkowania

7. Metody całkowania funkcji elementarnych

1. Całkowanie przez podstawianie

2. Całkowanie przez części

3. Całkowanie przez rozwinięcie w szereg Taylor’a

4. Całkowanie funkcji wymiernych

5. Całkowanie funkcji trygonometrycznych

6. Podsumowanie

8. Zastosowanie całki do obliczania pola i objętości

9. Techniki całkowania przez części i zamiany zmiennych

1. Technika całkowania przez części

2. Technika zamiany zmiennych

3. Porównanie technik

4. Wnioski

10. Bibliografia

Michelle Enderson

11.05.2023r.

Liczby

Rodzaje liczb i ich podział

Istnieje wiele rodzajów liczb w matematyce, a każdy z nich ma swoje unikalne właściwości i zastosowania. Poniżej przedstawiam podział najważniejszych rodzajów liczb.

Liczby naturalne

To liczby całkowite większe niż zero, oznaczane symbolem „N”. Liczby naturalne to liczby całkowite dodatnie, czyli 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 i tak dalej w nieskończoność. Są one jednym z najważniejszych pojęć w matematyce i odgrywają kluczową rolę w różnych dziedzinach nauki, takich jak fizyka, chemia czy informatyka. W matematyce liczby naturalne służą do reprezentowania ilości, a także do opisywania relacji między obiektami i operacji na nich[1].

Liczby całkowite

To liczby naturalne oraz ich przeciwne, czyli liczby ujemne i zero, oznaczane symbolem „Z”. Przykłady: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Liczby wymierne
To liczby, które można przedstawić jako ułamek dwóch liczb całkowitych, oznaczane symbolem „Q”. Przykłady: 1/2, -3/4, 5/7, …

Liczby niewymierne
To liczby, które nie można przedstawić jako ułamek dwóch liczb całkowitych, oznaczane symbolem „Irr”. Przykłady: √2, π, e, …

Liczby rzeczywiste
To liczby, które można przedstawić na osi liczbowej, oznaczane symbolem „R”. Przykłady: -3, 1/2, √2, π, …

Liczby zespolone
To liczby, które mają postać a + b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, a i b nazywane są częścią rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej, oznaczane symbolem „C”. Przykłady: 1 +2i, 3 — 4i, i, …

Liczby ujemne
Liczby ujemne to liczby, które są mniejsze od zera i zapisuje się je poprzez dodanie przed nimi znaku minus (-). Przykłady liczb ujemnych to -5, -10, -100 itd. Liczby ujemne są bardzo ważne w matematyce i fizyce, ponieważ reprezentują ujemne wartości, takie jak ujemne prędkości, ujemne temperatury itp. Mogą również pojawiać się w kontekście finansów, gdy mówimy o długu lub stracie netto. Podczas wykonywania działań matematycznych z liczbami ujemnymi ważne jest, aby pamiętać o ich znakach. Na przykład, dodanie dwóch liczb ujemnych daje wynik ujemny, podczas gdy dodanie liczby dodatniej do liczby ujemnej może dać wynik ujemny lub dodatni w zależności od wartości liczb. Podobnie, mnożenie dwóch liczb ujemnych daje wynik dodatni, a mnożenie liczby ujemnej przez liczbę dodatnią daje zawsze wynik ujemny. Liczby ujemne są również istotne w algebrze, gdy rozważa się równania i nierówności, które mogą zawierać liczby ujemne jako zmienne lub stałe[2].

Liczby dodatnie
Liczby dodatnie to liczby większe od zera. Są one podstawą do wykonywania działań matematycznych i stosowane są w wielu dziedzinach nauki i życia codziennego. Przykłady liczb dodatnich to 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 i tak dalej. Liczby dodatnie są ważne w matematyce, ponieważ umożliwiają wykonywanie operacji arytmetycznych takich jak dodawanie, mnożenie, dzielenie, odejmowanie i wiele innych.

Liczby parzyste
Liczby parzyste to liczby całkowite, które są podzielne przez 2 bez reszty. Innymi słowy, liczby parzyste to liczby, które kończą się cyfrą 0, 2, 4, 6 lub 8. Przykłady liczb parzystych to: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 itd. Liczby parzyste są ważne w matematyce i informatyce, ponieważ często występują w algorytmach i operacjach matematycznych. Na przykład, wiele operacji na bitach (np. przesunięcia bitowe) wymaga, aby liczba była parzysta lub nieparzysta[3].

Liczby nieparzyste
Liczby nieparzyste to liczby całkowite, które nie są podzielne przez 2 i mają resztę 1 po dzieleniu przez 2. Wszystkie liczby nieparzyste można zapisać w postaci 2n+1, gdzie n jest liczbą całkowitą. Przykłady liczb nieparzystych to: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, itd. Warto zauważyć, że suma dwóch liczb nieparzystych daje liczbę parzystą, natomiast suma dwóch liczb parzystych daje liczbę parzystą.

Podsumowanie
Powyższy podział nie jest wyczerpujący, ale przedstawia najważniejsze rodzaje liczb w matematyce.

[1] Władysław Narkiewicz, Podstawowa i analityczna teoria liczb
algebraicznych”, 1990r.

[2] Władysław Narkiewicz, Podstawowa i analityczna teoria liczb
algebraicznych”, 1990r.

[3] Władysław Narkiewicz, Podstawowa i analityczna teoria liczb
algebraicznych”, 1990r.

Podstawowe operacje matematyczne

Dodawanie

Dodawanie to jedna z czterech podstawowych operacji matematycznych. Polega ona na łączeniu dwóch lub więcej liczb w celu uzyskania ich sumy. Dodawanie dwóch liczb daje wynik sumy tych liczb. Przykład: 2 +3 = 5
Dodawanie jest podstawową umiejętnością matematyczną, która jest nauczana już od szkoły podstawowej. Wraz z nauką bardziej zaawansowanych dziedzin matematycznych, dodawanie jest wykorzystywane w szerszym kontekście, na przykład w dodawaniu wielomianów, wektorów i macierzy[1].

Odejmowanie

Odejmowanie to działanie matematyczne polegające na obliczeniu różnicy między dwoma liczbami. Aby odjąć jedną liczbę od drugiej, należy odjąć od większej liczby mniejszą liczbę. Przykład: 5 — 3 = 2
Można też odejmować liczby ujemne lub dziesiętne, stosując ten sam sposób obliczeń. Warto jednak pamiętać, że odejmowanie liczb dziesiętnych może wymagać dodatkowych kroków, takich jak dopisanie zer na końcu liczby, aby zachować dokładność miejsc po przecinku. Na przykład, aby odjąć 0,25 od 1,5, musimy napisać 1,50 i odjąć 0,25, a następnie wynik zaokrąglić do odpowiedniej liczby miejsc po przecinku[2]. Przykład: 1,50 — 0,25 = 1,25

Mnożenie

Mnożenie to działanie matematyczne, które polega na powielaniu liczby przez inną liczbę określoną przez mnożnik. Symbol matematyczny używany do oznaczania mnożenia to "×”. Na przykład, wynik mnożenia 2 przez 3 to 6, ponieważ 2 × 3 = 6. W matematyce mnożenie jest działaniem przemiennym, co oznacza, że wynik mnożenia dwóch liczb jest taki sam niezależnie od kolejności liczb. Przykład: 3 × 4 = 4 × 3 = 12
Mnożenie można również przedstawić w postaci iloczynu, czyli wyniku mnożenia. Przykład: 2 × 3 = 6, a 6 jest iloczynem 2 i 3. Mnożenie jest podstawową operacją matematyczną i ma wiele zastosowań w życiu codziennym oraz w różnych dziedzinach nauki, takich jak fizyka, chemia, ekonomia czy informatyka[3].

Dzielenie

Dzielenie to matematyczna operacja, która polega na podziale jednej liczby przez inną i określeniu wyniku tego podziału. Symbol dzielenia to znak "/”, a liczba, która jest dzielona, nazywana jest dzielną, a liczba, przez którą jest dzielona, nazywana jest dzielnikiem. Wynik dzielenia nazywany jest ilorazem. Na przykład, jeśli chcemy podzielić liczbę 12 przez 3, to 12 jest dzieloną, 3 jest dzielnikiem, a wynik to 4. Przykład: 12 / 3 = 4
W matematyce dzielenie może być również przedstawione za pomocą działań odwrotnych do mnożenia. Innymi słowy, aby podzielić jedną liczbę przez drugą, możemy pomnożyć ją przez odwrotność drugiej liczby. Na przykład, aby podzielić 12 przez 3, możemy pomnożyć 12 przez 1/3, co daje wynik 4.

Potęgowanie

Potęgowanie to operacja matematyczna polegająca na podnoszeniu pewnej liczby, zwanej podstawą, do potęgi, czyli mnożeniu tej liczby przez samą siebie określoną ilość razy. Potęgowanie można zapisać w postaci: a^n, gdzie „a” to podstawa, natomiast „n” to wykładnik potęgi. Przykłady potęgowania: 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8 (podstawa 2 podniesiona do potęgi 3)
5^2 = 5 * 5 = 25 (podstawa 5 podniesiona do potęgi 2)
10^0 = 1 (każda liczba podniesiona do potęgi 0 daje wynik równy 1)
W matematyce potęgowanie jest bardzo ważne, ponieważ pozwala na wygodne zapisywanie dużych liczb oraz obliczanie wartości funkcji potęgowej, która jest jedną z podstawowych funkcji matematycznych[4].

Pierwiastkowanie

Pierwiastkowanie to operacja matematyczna, która polega na znalezieniu pierwiastka kwadratowego, trzeciego stopnia, czwartego stopnia itd. danej liczby lub wyrażenia algebraicznego.

Pierwiastek kwadratowy z liczby a
To taka liczba dodatnia x, że x^2= a. Oznacza się go symbolem √a. Przykład: √9 = 3, ponieważ 3*3 = 9.

Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby a
To taka liczba x, że x^3 = a. Oznacza się go symbolem ∛x. Przykład: ∛27 =3, ponieważ 3*3*3= 27. 3^3=27

Pierwiastek czwartego stopnia z liczby a
To taka liczba x, że x^4 = a. Oznacza się go symbolem ∜a. Przykład: ∜16=2, ponieważ 2*2*2*2=16.

Zaokrąglanie

Zaokrąglanie to proces matematyczny, w którym dokładność liczb jest zmniejszana, a ich wartości są zmieniane na bliższe wartości określonej skali. Zaokrąglanie zazwyczaj jest wykonywane w celu uproszczenia lub ujednolicenia wyniku, a także w celu ułatwienia obliczeń. Zaokrąglanie to proces zaokrąglania liczb do określonej liczby miejsc po przecinku, lub do określonej liczby cyfr znaczących. W zaokrąglaniu do miejsc po przecinku, liczba jest zaokrąglana do najbliższej wartości z określoną ilością cyfr po przecinku. Na przykład, jeśli chcemy zaokrąglić liczbę 3,4567 do dwóch miejsc po przecinku, to wynik wyniesie 3,46. W zaokrąglaniu do liczby cyfr znaczących, liczba jest zaokrąglana do najbliższej wartości z określoną ilością cyfr całkowitych. W zaokrąglaniu istnieją różne zasady dotyczące tego, jak dokładnie zaokrąglać liczby w różnych przypadkach. Wiele programów komputerowych posiada funkcje zaokrąglania, które mogą być użyte w celu dokładnego zaokrąglania liczb. Istnieją różne zasady zaokrąglania, ale najczęściej stosowaną zasadą jest zaokrąglanie do najbliższej liczby. Zasada ta mówi, że jeśli dziesiątki lub setki są dokładnie w połowie, zaokrąglamy do liczby większej. Na przykład, jeśli zaokrąglamy liczbę 3,5 do najbliższej liczby całkowitej, to otrzymamy 4, ponieważ 3,5 jest dokładnie w połowie między 3 a 4, a 4 jest większe od 3. Inne zasady zaokrąglania to zaokrąglanie w górę (w przypadku liczb większych niż połowa wartości skali), zaokrąglanie w dół (w przypadku liczb mniejszych niż połowa wartości skali) oraz zaokrąglanie zgodnie z regułami arytmetyki (w przypadku liczb, które prowadzą do zmiany wartości innych cyfr po zaokrągleniu). Ważne jest, aby stosować odpowiednią zasadę w zależności od kontekstu i celu zaokrąglania[5].

Zaokrąglanie w górę
Liczba 4,78 zaokrąglona w górę do liczby całkowitej daje 5
Liczba 5,76 zaokrąglona w górę do pierwszego miejsca po przecinku daje 5,8
Liczba 9,876 zaokrąglona w górę do dwóch miejsc po przecinku daje 9,88

Zaokrąglanie w dół
Liczba 3,22 zaokrąglona w dół do liczby całkowitej daje 3
Liczba 3,82 zaokrąglona w dół do pierwszego miejsca po przecinku daje 3,8
Liczba 9,853 zaokrąglona w dół do dwóch miejsc po przecinku daje 9,85

Porównywanie liczb

Większy niż
Operator porównania ">" (większy niż) jest używany do porównywania, czy jedna liczba jest większa niż druga. Na przykład, 5 > 3 jest prawdziwe, ponieważ 5 jest większe niż 3. Mniejszy niż
Operator porównania "<" (mniejszy niż) jest używany do porównywania, czy jedna liczba jest mniejsza niż druga. Na przykład, 3 < 5 jest prawdziwe, ponieważ 3 jest mniejsze niż 5. Równe

Przykład
Operator porównania "=" (równe) jest używany do porównywania, czy dwie liczby są równe. Na przykład, 4 = 4 jest prawdziwe, ponieważ obie liczby są równe sobie. Większe lub równe.

Przykład
Operator porównania ">=" (większe lub równe) jest używany do porównywania, czy jedna liczba jest większa lub równa drugiej liczbie. Na przykład równania, 5 >= 5 i 6 >= 5 są prawdziwe, ponieważ 5 i 6 są równe, lub większe od 5. Mniejsze lub równe
Operator porównania "<=" (mniejsze lub równe) jest używany do porównywania, czy jedna liczba jest mniejsza lub równa drugiej liczbie. Na przykład równania, 3 <= 3 i 2 <= 3 są prawdziwe, ponieważ 3 i 2 są równe lub mniejsze od 3. W przypadku porównywania większej ilości liczb, można użyć operatorów logicznych, takich jak i oraz lub, aby sprawdzić, czy wszystkie warunki są spełnione. Na przykład, 4 > 2 i 6 > 3 jest prawdziwe, ponieważ obie liczby spełniają warunek. Natomiast 4 > 6 lub 2 > 5 jest fałszywe, ponieważ żaden z warunków nie jest spełniony[6].

[1] Jarosław Błasiok, Podstawowe operacje matematyczne, 2002r.

[2] Jarosław Błasiok, Podstawowe operacje matematyczne, 2002r.

[3] Jarosław Błasiok, Podstawowe operacje matematyczne, 2002r.

[4] Jarosław Błasiok, Podstawowe operacje matematyczne, 2002r.

[5] Jarosław Błasiok, Podstawowe operacje matematyczne, 2002r.

[6] Jarosław Błasiok, Podstawowe operacje matematyczne, 2002r.

Dziedziny w których liczby większe i mniejsze niż pełnią ważną funkcję

Matematyka zajmuje się badaniem właściwości i relacji między liczbami, a porównywanie liczb to tylko jedno z wielu zagadnień matematycznych. Istnieje wiele innych dziedzin matematyki, w których liczby większe niż są używane jako narzędzie do badania różnych zjawisk. Przykłady dziedzin matematyki, w których liczby większe niż pełnią ważną rolę, to.

Arytmetyka
Nauka o liczbach i operacjach matematycznych na nich, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. W arytmetce liczby większe niż są używane do rozwiązywania prostych i skomplikowanych problemów matematycznych.

Geometria
Nauka o kształtach, przestrzeni i ich własnościach. W geometrii liczby większe niż są używane do mierzenia długości, powierzchni i objętości różnych figur geometrycznych.

Algebra
Nauka o symbolach i operacjach matematycznych na nich. W algebrze liczby większe niż są używane do rozwiązywania równań i nierówności, a także do budowania modeli matematycznych.

Analiza matematyczna
Nauka o funkcjach i ich własnościach. W analizie matematycznej liczby większe niż są używane do badania funkcji i ich zachowania się na różnych obszarach dziedziny.

Teoria liczb
Nauka o liczbach całkowitych i ich własnościach. W teorii liczb liczby większe niż pełnią kluczową rolę w badaniu liczb pierwszych, liczb doskonałych i innych klas liczb.

Podsumowanie
Ogólnie rzecz biorąc, liczby większe niż są niezbędne w wielu dziedzinach matematyki i stanowią fundament do badań bardziej zaawansowanych zagadnień matematycznych.

Rodzaje różnych systemów liczbowych

System dziesiętny

System dziesiętny to system pozycyjny, który jest podstawowym systemem liczbowym stosowanym w matematyce i większości dziedzin naukowych. jest to najbardziej powszechny system liczbowy i opiera się na podstawie dziesięciu. W tym systemie, każda liczba jest przedstawiona za pomocą dziesięciu cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. W systemie dziesiętnym, wartość każdej cyfry w liczbie jest wyznaczana przez jej pozycję w liczbie. Pierwsza cyfra od prawej strony reprezentuje wartość jedności, druga dziesiątek, trzecia setek i tak dalej. Przykładowo Liczba „123” w systemie dziesiętnym oznacza łącznie jedną setkę, dwie dziesiątki i trzy jedności. Można to zapisać matematycznie jako: 1100 +210 +3*1 = 100 +20 +3 = 123
System dziesiętny jest bardzo użyteczny w codziennej matematyce, ponieważ większość ludzi jest z nim dobrze zaznajomiona i jest to łatwy sposób na reprezentowanie liczb i wykonywanie na nich działań arytmetycznych[1].

System binarny

System binarny, zwany także systemem dwójkowym, to system liczbowy, w którym do zapisu liczb używa się tylko dwóch cyfr: 0 i 1. W matematyce system binarny jest bardzo ważny w kontekście teorii informatyki i elektroniki, ponieważ stanowi podstawę dla zapisu i przetwarzania informacji w postaci cyfrowej. W systemie binarnym każda pozycja w liczbie reprezentuje kolejną potęgę liczby 2. Najmniej znacząca cyfra znajduje się zawsze po prawej stronie, a każda kolejna cyfra ma wartość dwukrotnie większą niż poprzednia. Na przykład, liczba binarna „1010” oznacza: 1 * 2^3 +0 * 2^2 +1 * 2^1 +0 * 2^0 = 8 +0 +2 +0 = 10
W systemie binarnym można przeprowadzać operacje matematyczne takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, ale ze względu na sposób zapisu, są one zwykle bardziej skomplikowane niż w systemie dziesiętnym[2].

System ósemkowy

System ósemkowy, zwany także systemem oktalnym, jest jednym z pozycyjnych systemów liczbowych używanych w matematyce. W systemie ósemkowym używa się 8 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Liczby w systemie ósemkowym zapisuje się podobnie jak w systemie dziesiętnym, ale każda cyfra reprezentuje potęgę liczby 8 zaczynając od prawej strony. Na przykład liczba ósemkowa 36 zapisana jest jako 38^1 +68^0, co daje wynik 24 w systemie dziesiętnym. Innym przykładem jest możliwość kiedy posiadamy już liczbę zapisaną w systemie dziesiętnym i chcemy ją zamienić na system ósemkowy. Przykładowo liczba 34 w systemie dziesiętnym zapisuje się jako 3 * 8^1 +4 * 8^0 = 24 +4 = 28. Aby przekonwertować liczbę dziesiętną na ósemkową, należy wykonywać kolejne dzielenia przez 8 i zapisywać reszty z dzielenia od dołu do góry, aż do uzyskania zera w wyniku dzielenia. W przypadku liczby 28, dzieląc ją przez 8 otrzymujemy: 28 / 8 = 3 reszty 4
3 / 8 = 0 reszty 3
Zatem liczba 34 w systemie ósemkowym wynosi 3 4, czyli 34₈. System ósemkowy jest szczególnie przydatny w informatyce, ponieważ w tej dziedzinie często korzysta się z systemu dwójkowego (systemu binarnego), który jest trudny do zapisu i odczytu przez człowieka, a łatwiejszy w zapisie i odczycie w systemie ósemkowym. Na przykład, każde 3 cyfry binarne można zapisać jako jedną cyfrę ósemkową, co pozwala na zwiększenie czytelności i zmniejszenie długości kodu[3].

System szesnastkowy

jest to system liczbowy oparty na podstawie szesnastu. W systemie szesnastkowym cyfry to 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 oraz litery A, B, C, D, E i F, a każda kolejna pozycja od prawej strony oznacza kolejną potęgę szesnastki. System szesnastkowy (znany również jako system heksadecymalny) jest matematycznym systemem liczbowym, który używa 16 symboli: cyfr od 0 do 9 oraz litery od A do F (reprezentujące wartości dziesiętne 10—15). Każda cyfra w systemie szesnastkowym reprezentuje pewną liczbę dziesiętną, a liczby szesnastkowe można przeliczać na liczby dziesiętne i odwrotnie. Aby oznaczyć liczbę szesnastkową, najczęściej dodaje się przed nią prefiks „0x” lub „0X”, na przykład: 0x3F2A. Aby przeliczyć liczbę szesnastkową na dziesiętną, należy każdą cyfrę pomnożyć przez odpowiednią potęgę 16 (począwszy od 0), a następnie zsumować te wyniki. Na przykład: 0x3F2A = 316^3 +1516^2 +216^1 +1016^0 = 16,426. System szesnastkowy jest szczególnie przydatny w informatyce, gdzie często używa się go do reprezentacji kolorów w formacie RGB lub do oznaczania adresów pamięci i rejestrów procesora[4].

System rzymski

System rzymski to system liczbowy, który był używany w starożytnym Rzymie do zapisywania liczb. W systemie rzymskim liczby reprezentowane są za pomocą liter alfabetu łacińskiego. W systemie rzymskim używa się siedmiu liter, które odpowiadają kolejno liczbom: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) i M (1000). Liczby większe od 1000 można zapisywać, dodając kolejne tysiące jako dodatkowe litery M. Do zapisywania liczb w systemie rzymskim używa się specjalnej notacji. Liczby zapisuje się za pomocą liter, przy czym litera o mniejszej wartości numerycznej jest zapisywana przed literą o większej wartości numerycznej. Jeśli litera o mniejszej wartości występuje po literze o większej wartości, to oznacza to, że jej wartość jest odejmowana od wartości większej litery. Na przykład liczba 4 jest zapisywana jako IV, czyli litera I (1) przed literą V (5). Liczba 9 jest zapisywana jako IX, czyli litera I (1) przed literą X (10), co oznacza, że wartość litery I (1) jest odejmowana od wartości litery X (10). System rzymski był stosowany w różnych dziedzinach, w tym w matematyce. W starożytnym Rzymie liczby zapisywano za pomocą koralików, które układano na liczących koralikach, tzw. abakach. Dzięki temu Rzymianie byli w stanie wykonywać proste obliczenia arytmetyczne, takie jak dodawanie i odejmowanie, przy użyciu systemu rzymskiego. Jednakże ze względu na skomplikowaną naturę systemu rzymskiego, trudno było wykonywać bardziej złożone obliczenia, co skłoniło do poszukiwań alternatywnych systemów liczbowych[5].

System dwunastkowy

System dwunastkowy, nazywany również systemem liczbowym o podstawie dwunastu, jest jednym z wielu systemów liczbowych używanych w matematyce i informatyce. W tym systemie liczbowym do zapisu liczb używa się dwunastu cyfr, oznaczonych symbolami 0—9 oraz literami A i B. W systemie dwunastkowym wartości liczb rosną szybciej niż w systemie dziesiętnym, ponieważ jest więcej cyfr. Kolejne cyfry po prawej stronie reprezentują kolejne potęgi liczby dwanaście, zaczynając od potęgi zerowej. Na przykład, liczba „23” w systemie dziesiętnym w systemie dwunastkowym zapisana byłaby jako „1B” (bo 1 x 12 +11 = 23). System dwunastkowy jest czasem używany w zastosowaniach matematycznych, takich jak teoria liczb i kryptografia. W informatyce, system dwunastkowy jest rzadko stosowany, ale czasem używa się go w systemach zapisu danych, takich jak adresy MAC w sieciach komputerowych. System ten jest używany w niektórych krajach, takich jak Etiopia[6].

[1] Roberta Kaplan, Sztuka liczenia, 2015r.

[2] Roberta Kaplan, Sztuka liczenia, 2015r.

[3] Roberta Kaplan, Sztuka liczenia, 2015r.

[4] Roberta Kaplan, Sztuka liczenia, 2015r.

[5] Roberta Kaplan, Sztuka liczenia, 2015r.

[6] Roberta Kaplan, Sztuka liczenia, 2015r.

Rodzaje różnych właściwości liczb

Przemienność, łączność, dystrybutywność i zasada skracania nawiasów to jedne z podstawowych właściwości liczb występujące w algebrze i arytmetyce.

Przemienność
Przemienność odnosi się do faktu, że można zmienić kolejność dodawania lub mnożenia liczb, bez zmiany wyniku. Innymi słowy, jeśli a i b są liczbami, to a + b = b + a i a * b = b * a. Przykład: 2 +3 = 3 +2
i 2 * 3 = 3 * 2.

Łączność
Łączność odnosi się do faktu, że można zmieniać kolejność łączenia liczb, bez zmiany wyniku. Innymi słowy, jeśli a, b i c są liczbami, to (a + b) + c = a + (b + c) i (a * b) * c = a * (b * c). Przykład: (2 +3) +4 = 2 + (3 +4)
i (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4).

Dystrybutywność
Dystrybutywność dotyczy właściwości mnożenia względem dodawania lub odejmowania. Oznacza to, że mnożenie liczb przez sumę (lub różnicę) daje ten sam wynik, co mnożenie każdej z tych liczb osobno, a następnie dodanie (lub odjęcie) tych wyników. Innymi słowy, jeśli a, b i c są liczbami, to a * (b + c) = (a * b) + (a *c) i a * (b — c) = (a * b) — (a * c). 1Przykład: 2 * (3 +4) = (2 * 3) + (2 * 4)
ponieważ 2 * (3 +4)=2*7=14 i (2 * 3) + (2 * 4)= 6+8=14
W obydwu przypadkach wynik wynosi 14
2Przykład: 2 * (4 — 3) = (2 * 4) — (2 * 3). ponieważ 2 * (4 — 3)= 2*1=2 i (2 * 4) — (2 * 3)= 8 — 6= 2
W obydwu przypadkach wynik wynosi 2

Zasada skracania nawiasów
Zasada skracania nawiasów mówi, że gdy wewnątrz jednego nawiasu znajduje się inny nawias, to można pominąć zewnętrzny nawias i zastąpić go jedynie odpowiednim operatorem matematycznym lub logicznym. Przykładowo, zamiast zapisać wyrażenie ”(3+4)”, możemy je skrócić do „3+4”. Podobnie, zamiast zapisać wyrażenie ”((a+b)*c)”, możemy je skrócić do ”(a+b)*c”. Zasada skracania nawiasów jest szczególnie przydatna wtedy, gdy chcemy zapisać bardziej złożone wyrażenia matematyczne lub logiczne. Dzięki skracaniu nawiasów możemy uniknąć nadmiernego użycia nawiasów, co ułatwia czytanie i zrozumienie kodu lub równania. Warto jednak pamiętać, że w niektórych przypadkach pominięcie nawiasów może wprowadzić niejednoznaczność lub błąd interpretacji, więc należy zawsze zachować ostrożność i stosować zasadę skracania nawiasów tylko wtedy, gdy jest to uzasadnione i nie prowadzi do nieporozumień[1].

Podsumowanie
Te cztery właściwości liczb są podstawą wielu działań matematycznych, takich jak rachunek algebraiczny i geometria analityczna. Ich zrozumienie jest kluczowe dla rozwoju umiejętności matematycznych.

[1] Roberta Kaplan, Sztuka liczenia, 2015r.

Przykłady stosowania matematyki w życiu codziennym

Obliczanie kosztów zakupów

Matematyka jest niezbędna, aby obliczyć koszt zakupów, wyliczyć podatki i określić końcową kwotę do zapłaty. W sklepach często stosowane są procenty, aby wyznaczyć ceny po rabatach lub podwyżkach. Aby obliczyć rabat, musimy znać pierwotną cenę produktu i wartość procentową rabatu.

Przykład
Kupiłeś trzy rzeczy w sklepie: koszulę za 50 zł, spodnie za 100 zł i buty za 150 zł. Na ile wydałeś pieniędzy na zakupy?
Aby obliczyć koszt zakupów, musimy dodać ceny wszystkich trzech przedmiotów. W tym przypadku: 50 zł +100 zł +150 zł = 300 zł
Odpowiedź koszt twoich zakupów wynosi 300 zł.

Obliczanie czasu i prędkości w podróży

Matematyka pozwala nam obliczyć czas i prędkość w podróży. Jeśli chcemy przebyć odległość o określonej długości w określonym czasie, musimy obliczyć średnią prędkość, która pozwoli nam osiągnąć cel. Możemy również obliczyć czas potrzebny na przebycie określonej odległości, jeśli znamy prędkość i dystans.

Przykład
Załóżmy, że jedziesz samochodem z miasta A do miasta B, które znajduje się 200 kilometrów dalej. Twój samochód osiąga maksymalną prędkość 120 km/h, ale postanawiasz jechać z prędkością 90 km/h, aby zmniejszyć zużycie paliwa. Chcesz obliczyć, ile czasu zajmie Ci przejazd i jaką średnią prędkość będziesz mieć. Aby obliczyć czas podróży, możesz podzielić dystans d=(200 km) przez prędkość v=(90 km/h): t = d/v
t = 200 km / 90 km/h
t = 2,22 godziny
aby obliczyć minuty wykonujemy równanie 0,22*60=13,2 zaokrąglając 13 minut. Czas podróży wyniesie około 2,22 godziny lub 2 godziny i 13 minut. Aby obliczyć średnią prędkość, możesz podzielić dystans (200 km) przez czas (2,22 godziny): v = d/t v = 200 km / 2,22 godziny v = 90 km/h
Średnia prędkość wyniesie 90 km/h, co jest zgodne z prędkością, jaką jechałeś przez całą drogę.

Planowanie budżetu domowego

Matematyka pozwala nam planować budżet domowy. Możemy wyliczyć nasze dochody, wydatki i zobowiązania finansowe. Aby utrzymać równowagę w naszych finansach, musimy wykonywać dokładne obliczenia, aby określić, ile możemy wydać na różne kategorie wydatków.

Przykład
Twoje miesięczne dochody wynoszą 5000 złotych. Musisz zapłacić czynsz w wysokości 1500 złotych, rachunki za media (gaz, prąd, woda, internet) wynoszą 800 złotych, a miesięczne koszty zakupów spożywczych to około 1000 złotych. Masz także kredyt samochodowy o miesięcznej racie w wysokości 600 złotych. Aby zaplanować swoje wydatki, możesz zacząć od ustalenia swojego miesięcznego budżetu. Poniżej przykład jak obliczyć koszty budżetu domowego i ile zostaje nam przychodu po opłaceniu kosztów.

Dochody: Wynagrodzenie: 5000 zł
Wydatki: Czynsz: -1500 zł
Rachunki za media: -800 zł
Zakupy spożywcze: -1000 zł
Rata kredytu samochodowego: -600 zł
Łącznie: -3900 zł
Przychód
5000 zł-3900 zł= 1100zł

Odpowiedź
Łączne koszty wynoszą -3900 zł
Po odjęciu wszystkich wydatków od swojego miesięcznego dochodu, pozostaje Ci 1100 złotych. Możesz wykorzystać tę kwotę na oszczędności, wyjścia do restauracji, rozrywkę itp.

Kalkulowanie ilości materiałów potrzebnych do projektu

Matematyka jest niezbędna do kalkulowania ilości materiałów potrzebnych do projektu. Na przykład, jeśli planujemy zbudować płot, musimy obliczyć, ile drewna i innych materiałów potrzebujemy na ten projekt. Aby to zrobić, musimy dokładnie zmierzyć wymiary i zastosować różne wzory matematyczne.

Przykład
Oto przykładowe zadanie, w którym należy obliczyć ilość materiałów potrzebnych do wykonania projektu. Zaprojektowałeś drewnianą ławkę ogrodową o wymiarach 2 metry długości, 0,5 metra szerokości i 1 metra wysokości. Chcesz zbudować ją z desek o wymiarach 4,5 cm x 4,5 cm. Ile metrów bieżących desek potrzebujesz?
Aby obliczyć ilość desek potrzebnych do zbudowania ławki, musisz najpierw wyznaczyć powierzchnię, którą będą one pokrywać. Powierzchnia ławki składa się z trzech części: siedziska, oparcia i podpór. Aby obliczyć powierzchnię każdej z tych części, należy pomnożyć ich wymiary. Powierzchnia siedziska = 2 m x 0,5 m = 1 m²
Powierzchnia oparcia = 2 m x 0,5 m = 1 m²
Powierzchnia podpór = 4 x 1 m = 4 m²
Sumując powierzchnie wszystkich trzech części, otrzymujemy powierzchnię całkowitą ławki: Powierzchnia całkowita = powierzchnia siedziska + powierzchnia oparcia + powierzchnia podpór
Powierzchnia całkowita = 1 m² +1 m² +4 m² = 6 m²
Aby obliczyć ilość desek potrzebnych do pokrycia tej powierzchni, musisz wiedzieć, ile metrów bieżących desek potrzebujesz na każdy metr kwadratowy powierzchni. Aby to obliczyć, musisz podzielić powierzchnię jednej deski przez powierzchnię, którą pokryje. Załóżmy, że deski mają długość 2,5 m. Wtedy powierzchnia jednej deski wynosi: Powierzchnia jednej deski = długość x szerokość
Powierzchnia jednej deski = 2,5 m x 0,045 m = 0,1125 m²
Aby obliczyć, ile desek potrzebujesz na metr kwadratowy powierzchni, podziel powierzchnię jednej deski przez powierzchnię, którą pokryje: Ilość desek na metr kwadratowy = 1 / 0,1125 = 8,89 deski
Teraz możesz obliczyć, ile desek potrzebujesz, aby pokryć powierzchnię całkowitą ławki: Ilość desek = powierzchnia całkowita x ilość desek na metr kwadratowy Ilość desek = 6 m² x 8,89 deski/m² = 53,34 deski

Odpowiedź
Musisz zatem kupić co najmniej 54 deski o długości 2,5 metra, aby zbudować ławkę ogrodową.

Obliczanie ilości paliwa potrzebnego do przejechania danej odległości

Matematyka jest niezbędna do obliczenia ilości paliwa potrzebnej do przejechania określonej odległości. Aby to zrobić, musimy znać wydajność naszego samochodu i średnią cenę paliwa. Na podstawie tych informacji możemy obliczyć, ile paliwa potrzebujemy, aby osiągnąć cel podróży.

Przykład
Samochód zużywa średnio 8 litrów paliwa na 100 km. Ile litrów paliwa będzie potrzebne, aby przejechać 350 km?
Aby obliczyć ilość potrzebnego paliwa, musisz najpierw wyznaczyć ile litrów paliwa samochód zużyje na każdy kilometr. Aby to zrobić, podziel średnie zużycie paliwa (8 litrów na 100 km) przez 100, aby uzyskać średnie zużycie paliwa na jeden kilometr: 8 / 100 = 0.08 litra/km
Następnie, aby obliczyć ilość paliwa potrzebną do przejechania 350 km, pomnóż średnie zużycie paliwa na jeden kilometr przez liczbę kilometrów: 0.08 * 350 = 28 litrów
A zatem, aby przejechać 350 km samochodem, potrzebujesz około 28 litrów paliwa. Oczywiście, warto pamiętać, że rzeczywiste zużycie paliwa może różnić się od średniego zużycia, w zależności od stylu jazdy, warunków drogowych i innych czynników.

Podsumowanie
Te przykłady pokazują, jak ważna jest matematyka w codziennym życiu. Bez umiejętności wykonywania prostych obliczeń, planowania i rozwiązywania problemów, nasze życie byłoby o wiele trudniejsze i mniej efekty

Algebra i równania

Równania

przykłady

Równanie liniowe
2x +3 = 7

Rozwiązanie równania liniowego
2x +3 = 7
2x = 4
x = 2

Równanie kwadratowe
x^2 +2x — 8 = 0

Rozwiązanie równania kwadratowego
x^2 +2x — 8 = 0
(x +4)(x — 2) = 0
x1 = -4, x2 = 2

Równanie wielomianowe stopnia trzeciego
x^3 — 4x^2 +5x — 2 = 0

Rozwiązanie równania wielomianowego stopnia trzeciego
x^3 — 4x^2 +5x — 2 = (x^3 — 2x^2) + (-2x^2 +5x — 2)
= x^2(x —2) — 2(x — 2)(x — 1) = (x — 2)(x^2 — 2x +1)
= (x — 2)(x — 1)^2
Zatem rozwiązaniem równania jest x = 1 lub x = 2. Sprawdźmy, czy rzeczywiście są to rozwiązania: Dla x = 1: 1^3 — 41^2 +51 — 2 = 1 — 4 +5 — 2 = 0
Dla x = 2: 2^3 — 42^2 +52 — 2 = 8 — 16 +10 — 2 = 0
Zatem x = 1 lub x = 2 są rozwiązaniami równania x^3 — 4x^2 +5x — 2 = 0.

Równanie z wartością bezwzględną
|x — 3| = 5

Rozwiązanie równania z wartością bezwzględną
Rozwiązując to równanie, musimy rozważyć dwa przypadki, w zależności od znaku wyrażenia w wartości bezwzględnej: (x — 3) = 5 x = 8
(x — 3) = -5 x = -2
Więc równanie |x — 3| = 5 ma dwa rozwiązania: x = 8 lub x = -2. Dlaczego są dwa sposoby? Ponieważ wartość bezwzględna oznacza, że wyrażenie wewnątrz niej może mieć dwie przeciwstawne wartości. Stąd, aby rozwiązać to równanie, musimy rozważyć dwa przypadki, jeden dla wartości dodatnich wewnątrz wartości bezwzględnej, a drugi dla wartości ujemnych. Ostatecznie, wynik równania z wartością bezwzględną (x — 3) = 5 to zbiór rozwiązań {8, -2}[1].

Równanie wymierne
(x +2)/(x — 1) = 3
(2,5 +2)/(2,5 — 1) = 3
(4,5)/(1,5)=3

Rozwiązanie równania wymiernego
Aby rozwiązać to równanie wymierne, musimy najpierw pozbyć się ułamka w mianowniku, aby uzyskać równanie liniowe. Możemy to zrobić poprzez wymnożenie obu stron równania przez mianownik (x — 1): (x +2)/(x — 1) * (x — 1) = 3 * (x — 1)
x +2 = 3x — 3
Przenosimy wszystkie zmienne na jedną stronę równania, a liczby na drugą: x — 3x = —2 —3 — 2x = —5
x = 5/2
Więc rozwiązaniem równania jest x = 5/2
x= 2,5
Ponieważ
(2,5 +2)/(2,5 — 1) = 3
(4,5)/(1,5)=3

Równanie wykładnicze
2^(2x+1) = 32

Rozwiązanie równania wykładniczego
Rozwiązanie tego równania wykładniczego wymaga znalezienia wartości x, dla których 2^(2x+1) jest równe 32. Możemy zauważyć, że 32 jest równoważne 2^5. Zatem możemy zapisać równanie w następujący sposób: 2^(2x+1) = 2^5
Aby obliczyć x, możemy porównać wykładniki po obu stronach równania: 2x +1 = 5
Następnie odejmujemy 1 z obu stron: 2x = 4
I dzielimy przez 2: x = 2
Innym sposobem obliczenia jest pozostawienie potęg: 2^(2x+1) = 32
2x+1 = 5
2x= 4
x = 2
Zatem rozwiązaniem równania wykładniczego 2^(2x+1) = 32 jest x = 2.

Równanie logarytmiczne
log2(x +1) + log2(x — 2) = 2

Rozwiązanie równania logarytmicznego
Rozpoczniemy od połączenia logarytmów z tego równania przy użyciu zasady mnożenia logarytmów: log2[(x+1)(x-2)] = 2
Następnie zastosujemy definicję logarytmu, aby wyznaczyć argument logarytmu po lewej stronie równania: 2^2 = (x+1)(x-2)
4 = x^2 — x — 2
x^2 — x — 6 = 0
Możemy teraz rozwiązać to równanie kwadratowe, na przykład przez faktoryzację: (x-3)(x+2) = 0
Stąd mamy dwa rozwiązania: x = 3 lub x = -2. Jednakże, należy sprawdzić czy oba rozwiązania spełniają warunek pierwotnego równania: log2(3 +1) + log2(3 — 2) = log2(4) + log2(1) = 2 +0 = 2 log2(-2 +1) + log2(-2 — 2) = log2(-1) + log2(-4) = nieoznaczone
Stąd, jedynym rozwiązaniem równania logarytmicznego jest
x= 3[2].

Równanie trygonometryczne
sin(x) + cos(x) = 1

Rozwiązanie równania trygonometrycznego
Możemy rozwiązać to równanie trygonometryczne w następujący sposób: sin(x) + cos(x) = 1
Możemy użyć identyczności trygonometrycznej sin^2(x) + cos^2(x) = 1, aby przekształcić równanie: sin(x) + cos(x) = sin^2(x) + cos^2(x)
sin(x) + cos(x) = 1
Zauważmy, że lewa strona równania jest równa sin(x) + cos(x) = √2*(sin(x+π/4)), gdzie π to liczba pi. Stąd otrzymujemy: √2*(sin(x+π/4)) = 1
sin(x+π/4) = 1/√2
Aby znaleźć rozwiązania tego równania, musimy znaleźć wartości kątów, dla których sin(x+π/4) = 1/√2. Możemy użyć własności funkcji trygonometrycznych, aby znaleźć wartości kątów, dla których sin(x+π/4) = 1/√2: sin(π/4) = 1/√2
Stąd otrzymujemy: x+π/4 = π/4 +2πk lub x+π/4 = 3π/4 +2πk, gdzie k to dowolna liczba całkowita. Możemy teraz rozwiązać te równania dla x: x = 0 +2πk lub x = π/2 +2πk — π/4, gdzie k to dowolna liczba całkowita. Ostatecznie, rozwiązania równania sin(x) + cos(x) = 1 są dane przez: x = 2πk lub x = (2k-1)π/2 — π/4, gdzie k to dowolna liczba całkowita[3].

Równanie macierzowe
A*x = b, gdzie A = [3 4; 2 5], x = [x1; x2] i b = [1; 2]

Rozwiązanie równania macierzowego
Rozwiązując równanie macierzowe A*x = b dla danej macierzy A i wektorów x i b, należy obliczyć wektor x, tak aby A pomnożone przez x dawało wektor b. Dla podanej macierzy A i wektorów x i b, mamy: A = [3 4; 2 5] x = [x1; x2] b = [1; 2]
Mnożąc A przez x, otrzymujemy: Ax = [3 4; 2 5] * [x1; x2] = [3x1 +4x2; 2x1 +5*x2]
Aby równanie Ax = b było spełnione, musimy znaleźć wektor x, dla którego Ax jest równy b. Możemy to zrobić, rozwiązując układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi: 3x1 +4x2 = 1 2x1 +5x2 = 2
Możemy użyć metody eliminacji Gaussa lub innej metody rozwiązywania układów równań liniowych, aby znaleźć rozwiązanie tego układu. Możemy również użyć funkcji do rozwiązywania równań macierzowych w programie komputerowym, np. MATLAB lub Octave. Oto rozwiązanie układu równań: x1 = -3/7 x2 = 5/7
Zatem rozwiązaniem równania macierzowego A*x = b dla danej macierzy A i wektorów x i b jest: x = [-3/7; 5/7]

Równanie różniczkowe
y” +2y = e^(-x), gdzie y(0) = 1.

Rozwiązanie równania różniczkowego
Możemy rozwiązać to równanie różniczkowe metodą współczynników nieoznaczonych. Pierwszym krokiem jest znalezienie ogólnego rozwiązania równania jednorodnego y”” +2y = 0. Aby to zrobić, rozważmy charakterystyczne równanie r^2 +2 = 0, które ma pierwiastki zespolone r = ±i√2. Stąd ogólne rozwiązanie równania jednorodnego to y_h(x) = c_1 cos(√2 x) + c_2 sin(√2 x), gdzie c_1 i c_2 są stałymi. Następnie szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Ponieważ e^(-x) jest funkcją eksponencjalną, spróbujmy rozwiązać równanie niejednorodne przez szukanie rozwiązania postaci y_p(x) = A e^(-x), gdzie A jest stałą, którą należy obliczyć. Podstawiając to rozwiązanie do równania, otrzymujemy: y_p”” +2y_p = (-A)e^(-x) +2Ae^(-x) = Ae^(-x)
Podobnie jak w przypadku równania jednorodnego, charakterystyczne równanie to r^2 +2 = 0, więc r = ±i√2. W tym przypadku jednak, ponieważ e^(-x) nie jest funkcją trygonometryczną, nie możemy wykorzystać metody zmiennych parametrów. Zamiast tego, stosujemy metodę nieoznaczonych współczynników. Podstawiamy y_p(x) = A e^(-x) do równania niejednorodnego i różniczkujemy dwa razy, uzyskując: y_p””(x) +2y_p(x) = Ae^(-x) — > (-A)e^(-x) +2Ae^(-x) = Ae^(-x)
Stąd otrzymujemy A = -1/2. Zatem ogólne rozwiązanie równania różniczkowego to: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 cos(√2 x) + c_2 sin(√2 x) — (1/2) e^(-x)
Teraz możemy wyznaczyć stałe c_1 i c_2 korzystając z warunku początkowego y(0) = 1: y(0) = c_1 cos(0) + c_2 sin(0) — (1/2) e^(0) = c_1 — (1/2) = 1
Stąd c_1 = 3/2. Ostatecznie rozwiązanie to: y(x) = (3/2) cos(√2 x) + c_2 sin(√2 x) — (1/2) e^(-x)

[1] Karol Borsuk i Władysław Szmielewski, Algebra, 1951r.

[2] Karol Borsuk i Władysław Szmielewski, Algebra, 1951r.

[3] Karol Borsuk i Władysław Szmielewski, Algebra, 1951r.

Funkcje algebraiczne

Funkcje algebraiczne są funkcjami, które można wyrazić za pomocą skończonej liczby działań algebraicznych, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie oraz potęgowanie z wykładnikiem całkowitym. Poniżej przedstawiamy kilka ważnych właściwości funkcji algebraicznych.

Określoność funkcji
Każda funkcja algebraiczna jest określona na pewnym zbiorze liczb rzeczywistych. Jednakże, ze względu na obecność operacji dzielenia, niektóre funkcje mogą mieć punkty, w których nie są one zdefiniowane. W algebrze, określoność funkcji oznacza, że funkcja ma jednoznacznie określony wynik dla każdego możliwego argumentu. Innymi słowy, dla każdej wartości x w dziedzinie funkcji, funkcja f(x) ma dokładnie jedną wartość na zbiorze wartości. Na przykład, funkcja f(x) = x^2 jest określona dla każdej wartości x ze zbioru liczb rzeczywistych, a dla każdej wartości x ma dokładnie jedną wartość, czyli kwadrat liczby x. Z drugiej strony, funkcja g(x) = 1/x nie jest określona dla x równego zero, ponieważ dzielenie przez zero nie ma sensu w arytmetyce, więc funkcja g(x) nie ma jednoznacznie określonej wartości dla x = 0. Określoność funkcji jest bardzo ważnym pojęciem w algebrze, ponieważ pozwala nam na określenie, kiedy dana funkcja może być odwzorowaniem i jakie są jej własności, takie jak np. monotoniczność, ciągłość czy różniczkowalność[1].

Stabilność dziedziny
Stabilność dziedziny to pojęcie z dziedziny algebry, które odnosi się do cechy dziedziny algebraicznej, która jest zachowywana podczas przeprowadzania działań matematycznych. Dziedzina algebraiczna jest stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy każda operacja przeprowadzona na elementach tej dziedziny prowadzi do uzyskania wyniku, który jest również elementem tej dziedziny. Innymi słowy, jeśli wykonujemy jakieś działanie na elementach dziedziny, to wynik tego działania także należy do tej dziedziny. Na przykład, dziedzina liczb całkowitych jest stabilna względem dodawania i mnożenia, ponieważ dodawanie lub mnożenie dwóch liczb całkowitych zawsze daje wynik, który także jest liczbą całkowitą. Jednakże, dziedzina liczb rzeczywistych nie jest stabilna względem dzielenia przez zero, ponieważ dzielenie przez zero prowadzi do wyniku nieskończonego, który nie jest liczbą rzeczywistą. Stabilność dziedziny jest ważna w algebrze, ponieważ gwarantuje, że działania matematyczne przeprowadzane na elementach tej dziedziny są dobrze określone i nie prowadzą do wyników, które nie należą do dziedziny. To z kolei pomaga w uniknięciu błędów i zagwarantowaniu poprawności wyników matematycznych[2].

Zera funkcji
Zera funkcji to wartości argumentów, dla których wartość funkcji wynosi zero. W algebrze, funkcje często zapisuje się w postaci równań lub nierówności, więc zerowanie funkcji oznacza rozwiązanie równania lub nierówności. Przykładowo, jeśli mamy funkcję kwadratową f(x) = ax^2 + bx + c, to możemy szukać jej zer przez rozwiązanie równania ax^2 + bx + c = 0. Rozwiązanie takiego równania zależy od wartości współczynników a, b i c, a dokładniej od ich dyskryminantu, czyli wartości b^2 — 4ac. Jeśli dyskryminant jest dodatni, to równanie ma dwa różne rzeczywiste zera, jeśli jest równy zero, to równanie ma jedno podwójne zero, a jeśli jest ujemny, to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, ale można znaleźć jego rozwiązania zespolone. Podobnie, można szukać zer funkcji liniowej, wielomianowej o wyższym stopniu, funkcji trygonometrycznych, logarytmicznych itp., rozwiązując odpowiednie równania lub nierówności[3].

Parzystość i nieparzystość funkcji
Parzystość i nieparzystość funkcji są dwoma ważnymi pojęciami w matematyce, które odnoszą się do symetrii funkcji. Funkcja f(x) jest parzysta, jeśli f(-x) = f(x) dla każdego x należącego do dziedziny funkcji. W praktyce oznacza to, że symetria osiowa wzdłuż osi pionowej przechodzącej przez środek układu współrzędnych. Innymi słowy, wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi y. Przykładami funkcji parzystych są: f(x) = x^2, f(x) = cos(x), f(x) = |x|. Funkcja f(x) jest nieparzysta, jeśli f(-x) = -f(x) dla każdego x należącego do dziedziny funkcji. W praktyce oznacza to, że symetria osiowa wzdłuż początku układu współrzędnych. Innymi słowy, wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu (0,0). Przykładami funkcji nieparzystych są: f(x) = x, f(x) = sin(x), f(x) = 1/x. Nie wszystkie funkcje są ani parzyste, ani nieparzyste. Funkcje te są nazywane funkcjami ogólnymi. Przykładami funkcji ogólnych są: f(x) = x^3, f(x) = x^2 +1, f(x) = e^x. Funkcja algebraiczna jest parzysta, jeśli spełnia warunek f(-x) = f(x) dla każdej liczby rzeczywistej x. Funkcja jest nieparzysta, jeśli spełnia warunek f(-x) = -f(x) dla każdej liczby rzeczywistej x. Funkcja może również nie być ani parzysta, ani nieparzysta.

Ciągłość funkcji
Ciągłość funkcji to pojęcie z zakresu analizy matematycznej, które mówi o tym, jak zachowuje się funkcja na pewnym przedziale, gdy jej argumenty zbliżają się do siebie. Formalnie mówiąc, funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x=a, jeśli dla każdej liczby dodatniej ε istnieje liczba dodatnia δ taka, że dla każdego x spełniającego nierówność |x-a|<δ, zachodzi nierówność |f(x) -f(a)|<ε. Intuicyjnie, funkcja jest ciągła w punkcie a, jeśli jej wartość w punkcie a jest zbliżona do wartości funkcji dla argumentów bliskich punktu a. Oznacza to, że jeśli x zbliża się do a, to wartość funkcji f(x) również zbliża się do f(a). Funkcja może być ciągła na całym swoim dziedzinie lub tylko na pewnym jej przedziale. Istnieją różne warunki, które pozwalają stwierdzić, czy funkcja jest ciągła na danym przedziale. Na przykład, funkcja jest ciągła na pewnym przedziale, jeśli jest ograniczona na tym przedziale i nie posiada punktów osobliwych (np. nie istnieją miejsca, w których funkcja jest nieskończona). Ciągłość funkcji jest istotna w wielu dziedzinach matematyki oraz w praktyce, ponieważ pozwala na dokładne opisanie zachowania się funkcji i na wykorzystanie jej w rozwiązywaniu problemów praktycznych[4].

Różniczkowalność funkcji
Różniczkowalność funkcji to pojęcie z dziedziny analizy matematycznej, a dokładniej analizy różniczkowej. Intuicyjnie, funkcja jest różniczkowalna w pewnym punkcie, jeśli jej wartości zmieniają się w sposób wystarczająco płynny, tak że można określić jej pochodną w tym punkcie. W algebrze różniczkowej, funkcje są zdefiniowane w sposób formalny, jako wyrażenia składające się z symboli algebraicznych i operacji algebraicznych. Różniczkowanie w algebrze jest zdefiniowane jako operacja, która przyporządkowuje funkcji jej pochodną, czyli kolejne wyrażenie algebraiczne, które jest pochodną pierwotnej funkcji. Przykładowo, jeśli mamy funkcję algebryczną f(x) = x^2 +3x +2, to jej pochodną można obliczyć jako f”(x) = 2x +3. Pochodna ta informuje nas o tym, jak szybko wartości funkcji zmieniają się wraz ze zmianą argumentu x. W algebrze różniczkowej istnieją pewne reguły różniczkowania, które pozwalają na obliczanie pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji. Na przykład, jeśli mamy funkcję f(x) = sin(x), to jej pochodną można obliczyć z zastosowaniem reguły różniczkowania funkcji trygonometrycznych, która mówi, że pochodną sin(x) jest cos(x).

[1] Karol Borsuk i Władysław Szmielewski, Algebra, 1951r.

[2] Karol Borsuk i Władysław Szmielewski, Algebra, 1951r.

[3] Karol Borsuk i Władysław Szmielewski, Algebra, 1951r.

[4] Karol Borsuk i Władysław Szmielewski, Algebra, 1951r.

Ograniczenia funkcji

Funkcja algebraiczna może mieć ograniczenia na dziedzinie funkcji lub na przedziale wartości. Ograniczenia te mogą wynikać z własności funkcji, jak na przykład asymptoty, ekstrema lokalne, czy też symetria. W algebrze funkcje mogą mieć różne rodzaje ograniczeń. Oto kilka przykładów:

Ograniczenia dziedziny
Funkcja może mieć określoną dziedzinę, na której jest zdefiniowana. Na przykład funkcja pierwiastka kwadratowego f(x) = √x jest zdefiniowana tylko dla x ≥ 0, co oznacza, że jej dziedzina jest ograniczona z dołu przez zero[1].

Ograniczenia wartości
Funkcja może mieć określone wartości, które może przyjąć. Na przykład funkcja sin(x) przyjmuje wartości z przedziału [-1,1]. To oznacza, że wartości funkcji są ograniczone z góry przez 1 i z dołu przez -1[2].

Ograniczenia asymptotyczne
Funkcja może mieć określone asymptoty, czyli wartości graniczne, do których dąży funkcja, gdy jej argument zbliża się do nieskończoności lub do zera. Na przykład funkcja f(x) = 1/x ma asymptotę poziomą y = 0, co oznacza, że wartości funkcji są ograniczone z dołu przez zero[3].

Ograniczenia pochodnych
Funkcja może mieć ograniczenia na swoje pochodne, co oznacza, że jej tempo zmiany jest ograniczone. Na przykład funkcja f(x) = x^2 ma pochodną f”(x) = 2x, co oznacza, że jej tempo zmiany zwiększa się wraz z x, ale nigdy nie przekracza pewnego ustalonego limitu[4].

Ograniczenia całek
Funkcja może mieć ograniczenia na swoje całki, co oznacza, że suma jej wartości na określonym przedziale jest ograniczona. Na przykład funkcja f(x) = 1/x ma nieskończoną całkę na przedziale [0,1], co oznacza, że jej wartości nie są ograniczone na tym przedziale[5].

Podsumowanie
Te właściwości funkcji algebraicznych mają kluczowe znaczenie w matematyce i naukach przyrodniczych, a także w wielu dziedzinach życia, w których wykorzystuje się matematykę.

[1] Andrzej Schinzel i Wojciech Kucharz, Ograniczenia funkcji
algebraicznych, 2000r.

[2] Andrzej Schinzel i Wojciech Kucharz, Ograniczenia funkcji
algebraicznych, 2000r.

[3] Andrzej Schinzel i Wojciech Kucharz, Ograniczenia funkcji
algebraicznych, 2000r.

[4] Andrzej Schinzel i Wojciech Kucharz, Ograniczenia funkcji
algebraicznych, 2000r.

[5] Andrzej Schinzel i Wojciech Kucharz, Ograniczenia funkcji
algebraicznych, 2000r.

Macierze i układy równań liniowych

Macierze i układy równań liniowych to podstawowe pojęcia algebry liniowej, które są bardzo ważne w matematyce, fizyce, inżynierii i wielu innych dziedzinach nauki. Macierz to tabelaryczne przedstawienie liczb w postaci prostokątnej siatki, w której liczby te są ułożone w rzędy i kolumny. Przykładowo, macierz 3x2 może wyglądać następująco: 2 3 4 5 6 7
W matematyce macierze są często używane do opisu systemów równań liniowych. Układ równań liniowych to zbiór równań postaci: a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2.. an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
gdzie a_ij i b_i są liczbami rzeczywistymi, a x_1, x_2, …, x_n są niewiadomymi, które chcemy wyznaczyć.

Układ taki można zapisać w postaci macierzowej jako:

[A][x] = [b]
gdzie [A] to macierz współczynników, [x] to wektor niewiadomych, a [b] to wektor wyrazów wolnych. Rozwiązanie układu równań polega na znalezieniu wektora [x], który spełnia wszystkie równania. Można to zrobić na różne sposoby, np. za pomocą eliminacji Gaussa, wykorzystując regułę Cramera lub metody iteracyjne[1].

Przykład
Rozwiązanie układu równań liniowych za pomocą macierzy polega na zapisaniu równań w postaci macierzowej i wykorzystaniu operacji macierzowych do obliczenia niewiadomych. Przykładowo, rozważmy następujący układ równań:
x +2y — z = 7
3x — y +2z = -11
2x + y +3z = 1

[1] Leon Trzebiński, Algebra liniowa w zadaniach, 1982r.

[2] Leon Trzebiński, Algebra liniowa w zadaniach, 1982r.

[1] Andrzej Schinzel, Wstęp do algebry abstrakcyjnej, 2004r.

[2] Andrzej Schinzel, Wstęp do algebry abstrakcyjnej, 2004r.

[3] Andrzej Schinzel, Wstęp do algebry abstrakcyjnej, 2004r.

[1] Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

[1] Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

[2] Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

[3] Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

[4] Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

[5] Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

[6] Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

[7] Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

[8] Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

[9] Włodzimierz Krysicki i Piotr Włodarski, Funkcje wielu
zmiennych, 2006r.

[1] prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

[2] prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

[3] prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

[4] prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

[5] prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

[6] prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

[7] prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

[8] prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

[9] prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

[10] prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

[11] prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

[12] prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

[13] prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

[14] prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

[15] prof. dr hab. Jacek Gulgowski, Operacje na funkcjach w analizie
matematycznej, 2004r.

[1] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[2] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[3] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[4] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[5] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[6] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[7] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[8] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[1] prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.

[2] prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.

[3] prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.

[4] prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.

[5] prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.

[6] prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.

[7] prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.

[8] prof. Janusz Matkowski, Wstęp do analizy funkcjonalnej,1994r.

[1] Andrzej Trybulec, Geometria Analityczna W Przykładach i
Zadaniach, 2002r.

[1] Andrzej Trybulec, Geometria Analityczna W Przykładach i
Zadaniach, 2002r.

[2] Andrzej Trybulec, Geometria Analityczna W Przykładach i
Zadaniach, 2002r.

[3] Andrzej Trybulec, Geometria Analityczna W Przykładach i
Zadaniach, 2002r.

[4] Andrzej Trybulec, Geometria Analityczna W Przykładach i
Zadaniach, 2002r.

[1] Andrzej Trybulec, Geometria Analityczna W Przykładach i
Zadaniach, 2002r.

[1] Andrzej Trybulec, Geometria Analityczna W Przykładach i
Zadaniach, 2002r.

[1] Andrzej Trybulec, Geometria Analityczna W Przykładach i
Zadaniach, 2002r.

[2] Andrzej Trybulec, Geometria Analityczna W Przykładach i
Zadaniach, 2002r.

[3] Andrzej Trybulec, Geometria Analityczna W Przykładach i
Zadaniach, 2002r.

[1] Andrzej Trybulec, Geometria Analityczna W Przykładach i
Zadaniach, 2002r.

[1] Andrzej Trybulec, Geometria Analityczna W Przykładach i
Zadaniach, 2002r.

[1] Andrzej Trybulec, Geometria Analityczna W Przykładach i
Zadaniach, 2002r.

[2] Andrzej Trybulec, Geometria Analityczna W Przykładach i
Zadaniach, 2002r.

[1] prof. Andrzeja Trautman, Wstęp do teorii
prawdopodobieństwa, 2019r.

[2] prof. Andrzeja Trautman, Wstęp do teorii
prawdopodobieństwa, 2019r.

[3] prof. Andrzeja Trautman, Wstęp do teorii
prawdopodobieństwa, 2019r.

[4] prof. Andrzeja Trautman, Wstęp do teorii
prawdopodobieństwa, 2019r.

[5] prof. Andrzeja Trautman, Wstęp do teorii
prawdopodobieństwa, 2019r.

[6] prof. Andrzeja Trautman, Wstęp do teorii
prawdopodobieństwa, 2019r.

[1] prof. Andrzeja Trautman, Wstęp do teorii
prawdopodobieństwa, 2019r.

[2] prof. Andrzeja Trautman, Wstęp do teorii
prawdopodobieństwa, 2019r.

[3] prof. Andrzeja Trautman, Wstęp do teorii
prawdopodobieństwa, 2019r.

[4] prof. Andrzeja Trautman, Wstęp do teorii
prawdopodobieństwa, 2019r.

[5] prof. Andrzeja Trautman, Wstęp do teorii
prawdopodobieństwa, 2019r.

[1] prof. Andrzeja Trautman, Wstęp do teorii
prawdopodobieństwa, 2019r.

[1] prof. dr hab. Andrzej Gałecki, Analiza korelacji i regresji w
badaniach naukowych, 2017r.

[1] prof. dr hab. Andrzej Gałecki, Testowanie hipotez
statystycznych w badaniach medycznych, 2014r.

[2] prof. dr hab. Andrzej Gałecki, Testowanie hipotez
statystycznych w badaniach medycznych, 2014r.

[3] prof. dr hab. Andrzej Gałecki, Testowanie hipotez
statystycznych w badaniach medycznych, 2014r.

[4] prof. dr hab. Andrzej Gałecki, Testowanie hipotez
statystycznych w badaniach medycznych, 2014r.

[1] prof. dr hab. Andrzej Gałecki, Testowanie hipotez
statystycznych w badaniach medycznych, 2014r.

[2] prof. dr hab. Andrzej Gałecki, Testowanie hipotez
statystycznych w badaniach medycznych, 2014r.

[3] prof. dr hab. Andrzej Gałecki, Testowanie hipotez
statystycznych w badaniach medycznych, 2014r.

[1] prof. Władysław Wilczyński, Rachunek różniczkowy i całkowy, 2000r.

[1] prof. Władysław Wilczyński, Rachunek różniczkowy i całkowy, 2000r.

[1] prof. Władysław Wilczyński, Rachunek różniczkowy i całkowy, 2000r.

[2] prof. Władysław Wilczyński, Rachunek różniczkowy i całkowy, 2000r.

[1] prof. Władysław Wilczyński, Rachunek różniczkowy i całkowy, 2000r.

[1] prof. Władysław Wilczyński, Rachunek różniczkowy i całkowy, 2000r.

[2] prof. Władysław Wilczyński, Rachunek różniczkowy i całkowy, 2000r.

[3] prof. Władysław Wilczyński, Rachunek różniczkowy i całkowy, 2000r.

[4] prof. Władysław Wilczyński, Rachunek różniczkowy i całkowy, 2000r.

[1] prof. Władysław Wilczyński, Rachunek różniczkowy i całkowy, 2000r.

[2] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[3] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[4] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[5] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[6] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[1] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[2] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[3] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[4] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[5] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

[6] Władysław Krysicki, Analiza matematyczna, 2000r.

Koniec darmowego fragmentu książki.

Zachęcamy do zakupu pełnej wersji.