Wydanie trzecie książki ukazało się nakładem Państwowego Wydawnictwa Naukowego

w 1961 r. w serii Biblioteka problemów

Strony tytułowe zaprojektowała

Joanna Gwis

Redaktor inicjujący

Izabela Ewa Mika

Copyright © by Państwowe Wydawnictwo Naukowe

Warszawa 1961

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2010

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z  2010 r., (wyd. I)

Warszawa 2019

ISBN 978-83-01-20654-3

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22  69 54  321, faks 22  69 54  288

infolinia 801 33  33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Skład wersji elektronicznej na  zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN: mobisfera.pl

Spis treści

§ 1. Czym zajmuje się logika

1.1. Wnioskowanie to jedna z czynności powiększających naszą wiedzę

1.2. Wnioskowanie to przejście od przesłanek do wniosków

1.3. Logika podaje schematy i sposoby przeprowadzania poprawnych wnioskowań

1.4. Logika a filozofia

§ 2. O poprawnym wyrażaniu myśli w zdaniach

2.1. Poprawne wyrażanie myśli za pomocą tworów językowych składa się ze zdań

2.2. Zdania złożone z reguły składają się ze zdań prostych i spójników międzyzdaniowych

2.3. Logiczne spójniki międzyzdaniowe

2.4. Nazwy logiczne niektórych zdań złożonych

§ 3. Reguła odrywania

3.1. Reguły logiczne pozwalają uznawać za prawdziwe nowe zdania

3.2. Sformułowania reguły odrywania

3.3. Dalsze przykłady zastosowań reguły odrywania

§ 4. Prawa logiki zdań

4.1. Prawo wyłączonego środka

4.2. Prawo niesprzeczności

4.3. Prawa podwójnego przeczenia

4.4. Prawo transpozycji

4.5. Prawa charakteryzujące koniunkcję

4.6. Prawa sylogizmów implikacyjnych

4.7. Twierdzenia charakteryzujące alternatywę

4.8. Twierdzenia charakteryzujące równoważność

4.9. Prawa de Morgana

§ 5. Charakterystyka spójników logicznych

5.1. Tabelka negacji

5.2. Tabelka koniunkcji

5.3. Tabelka alternatywy

5.4. Tabelka implikacji

5.5. Tabelka równoważności

§ 6. Tabelkowe sprawdzanie formuł logiki zdań

6.1. Symbolika logiki zdań

6.2. Formuły poprawnie zbudowane

6.3. Sprawdzanie formuł z jedną zmienną

6.4. Sprawdzanie formuł logicznych z wieloma zmiennymi

6.5. Skrótowa metoda sprawdzania zero-jedynkowego

§ 7. Zastosowania logiki zdań

7.1. Zastosowania logiki zdań do nauk matematycznych

7.2. Zastosowanie logiki zdań do techniki

7.3. Uwagi o zastosowaniach logiki zdań do nauk humanistycznych

7.4. Wyszukiwanie błędów we wnioskowaniach

7.5. Analizowanie poprawnych wnioskowań

§ 1

Czym zajmuje się logika

1.1. Wnioskowanie to jedna z czynności powiększających naszą wiedzę

Zdarza się w życiu codziennym, że brak nam jakiejś potrzebnej wiadomości. Szukamy jej wtedy w podręcznikach i encyklopediach lub pytamy znawców. Postępując w ten sposób, korzystamy z wiedzy innych ludzi, zapisanej w książkach lub przekazywanej nam w żywej mowie. Czasem natomiast staramy się wiadomość tę posiąść sami, bez korzystania z cudzej wiedzy. W takim przypadku, gdy z pomocy innych nie chcemy lub nie możemy korzystać, możemy próbować wyzyskania dawnej swej wiedzy przez przypominanie sobie różnych wiadomości z danej dziedziny. Gdy jednak pamięć nie dostarcza nam odpowiedzi na gnębiące pytanie i zdani jesteśmy tylko na własne siły, wtedy możemy jeszcze usiłować samodzielnie dojść do odkrycia potrzebnej nam wiadomości, dysponując tylko obecnie posiadaną wiedzą. Dojść samodzielnie do tego możemy bądź za pomocą odpowiednich doświadczeń (prób), obserwacji itp., bądź za pomocą poprawnego wnioskowania. Tymi dwiema drogami zdobywają uczeni nowe twierdzenia naukowe, tymi sposobami pomagamy też sobie często w życiu codziennym. Jeśli na przykład pragniemy zrobić w domu mydło i mamy dokładny przepis, nie wiemy tylko, czy można je gotować w naczyniu aluminiowym bez szkody dla naczynia; to chcąc rozproszyć wątpliwości możemy zrobić doświadczenie: wziąć mocny i gorący roztwór ługu sodowego lub potasowego, taki jakiego będziemy używali do wyrobu mydła, zanurzyć w nim blaszkę aluminiową i obserwować, czy na jej powierzchni nie dokonuje się jakieś niszczące zjawisko. Łatwo w ten sposób zauważymy, że aluminium rozpuszcza się w ługu i że wobec tego należy użyć innego naczynia do wyrobu mydła.

Nie wszystkie jednakże wątpliwości można rozproszyć, wykonując odpowiednie próby. Gdy na przykład mieszkamy na wsi i chcemy z pobliskiego miasta polecieć samolotem do Warszawy, a wiemy, że jest między tymi miastami codzienna komunikacja lotnicza, lecz nie wiemy, w których godzinach następują odloty samolotów oraz nie możemy się znikąd o tym dowiedzieć, próbna jazda na lotnisko byłaby zbyt kosztowna. Przeprowadzamy wtedy na przykład rozumowanie: „Lot samolotem w nocy jest trudniejszy i mniej bezpieczny niż w dzień, ponieważ w nocy jest gorsza widoczność. Ponadto wiadomo, że odległość między miastami samolot przebywa w ciągu godziny. Podróżny, przyjechawszy w nocy do Warszawy, musiałby szukać noclegu i z załatwieniem spraw czekać do rana. Gdyby samolot leciał nocą, podróżni nie mieliby z tego większej korzyści. Mogliby raczej jechać nocą pociągiem, sleepingiem, bez kłopotu o nocleg. Jeśli zaś samolot odlatuje rano, to po przelocie do celu można jeszcze w tym samym dniu załatwić wiele spraw i wrócić samolotem lub nocnym pociągiem. Ponieważ komunikacja jest tak zorganizowana, żeby zapewnić podróżnym największe bezpieczeństwo i wygodę, zatem najbardziej prawdopodobne wydaje się, że samolot powinien odlatywać rano, a w każdym razie w dzień, a nie w nocy”.

Przeprowadziliśmy pewne rozumowanie szczególnego typu, zwane wnioskowaniem. Rozumowanie to wprawdzie nie daje nam może w tym przypadku pewności, ale wskazuje, którą z możliwości należy uznać za najbardziej prawdopodobną. Rozumowanie pogłębiło naszą wiedzę, wzbogaciło zapas naszych wiadomości. Zanim przeprowadziliśmy rozumowanie, nie wiedzieliśmy, kiedy należy jechać do miasta, aby trafić na odlot samolotu; po przeprowadzeniu tego rozumowania wiemy, kiedy jadąc do miasta najmniej ryzykujemy. Rozumowanie odegrało tu podobną rolę, jaką w przypadku wyrobu mydła odegrało doświadczenie z blaszką aluminiową, które wzbogaciło aktualną naszą wiedzę o nową wiadomość, dającą częściowo odpowiedź na pytanie: W jakim naczyniu najlepiej wyrabiać mydło bez szkody dla naczynia? Podobnie rozumowanie w drugim przypadku dostarczyło nam wiadomości, kiedy prawdopodobnie należy wybrać się w podróż. Wnioskowanie jest więc jedną z czynności powiększających naszą aktualną wiedzę.

W powstaniu całokształtu wiedzy ludzkiej doświadczenie odegrało jednak znacznie bardziej podstawową rolę aniżeli wnioskowanie. Cała nasza wiedza wywodzi się w pewien sposób z doświadczenia, rozumianego jako wszelki bezpośredni kontakt z rzeczywistością.

1.2. Wnioskowanie to przejście od przesłanek do wniosków

Przyjrzyjmy się bliżej tej czynności, którą nazwaliśmy wnioskowaniem. Uświadomiliśmy sobie w niej wiele wiadomości, które uważaliśmy za pewne również i wtedy, zanim rozpoczęliśmy rozumowanie, jak na przykład: ,,w nocy jest gorsza widoczność’’, „odległość między miastami samolot przebywa w ciągu godziny”, „rozkład jazdy jest dostosowany do wygody podróżnych” i inne. Oprócz tego uświadomiliśmy sobie pewne wiadomości, które w jakiś sposób wiążą się z tamtymi i które otrzymaliśmy właśnie drogą rozumowania, jak na przykład: „gdyby samolot leciał nocą, podróżni nie mieliby z tego większej korzyści”, „najbardziej prawdopodobne wydaje się, że samolot powinien odlatywać rano”. O wiadomościach drugiego rodzaju mówiliśmy, że są wnioskami opierającymi się na wiadomościach pierwszego rodzaju lub po prostu, że wiadomości drugiej grupy wywnioskowaliśmy z wiadomości pierwszej grupy. Możemy więc powiedzieć, że w tego typu rozumowaniach, które można nazwać wnioskowaniami, mamy zawsze do czynienia z dwiema grupami wiadomości:

1° wiadomości, które posiadamy przed rozpoczęciem rozumowania,

2° wiadomości, które wywodzą się z wiadomości poprzednich właśnie drogą pewnego rozumowania.

Pierwsze wiadomości nazywamy przesłankami lub założeniami wnioskowania, a drugie — wnioskami. Nie zawsze uświadamiamy sobie przesłanki przed wnioskami. Czasem narzuca się nam wniosek, a potem dopiero uświadamiamy sobie, z jakich przesłanek on wypływa. W przytoczonym rozumowaniu najpierw uświadomiliśmy sobie pewien wniosek „lot samolotem w nocy jest trudniejszy i mniej bezpieczny niż w dzień” — a potem dopiero zdaliśmy sobie sprawę, że jest to wniosek z przesłanki „w nocy jest gorsza widoczność”. Jeśli najpierw wypowiadamy wniosek, a potem przesłanki, wtedy przesłanki poprzedzamy zwykle słowami: „ponieważ” lub „dlatego że”, „bowiem”, jak to uczyniliśmy, mówiąc „lot samolotem w nocy jest mniej bezpieczny niż w dzień, ponieważ w nocy jest gorsza widoczność”.

Nie wszystkie też przesłanki odgrywające rolę w rozumowaniu uświadomiliśmy sobie jednakowo silnie. Oto na przykład mówiąc, że „podróżny, przyjechawszy w nocy do Warszawy, musiałby szukać noclegu” — przyjmujemy jako przesłankę, że większość ludzi potrzebuje w nocy snu. Przesłanki tej, choć jest w całym rozumowaniu bardzo ważna, nie wypowiedzieliśmy, gdyż jest ona oczywista. W ten sposób często w potocznych rozumowaniach nie wypowiadamy pewnych przesłanek, o których sądzimy, że są dla każdego oczywiste. Taką ważną przesłanką w przytoczonym rozumowaniu jest również wiadomość, że urzędy w Warszawie są czynne w dzień, a nie w nocy. Z tej przesłanki właśnie wynika wniosek, który wypowiedzieliśmy w rozumowaniu: „podróżny przyjechawszy w nocy do Warszawy musiałby szukać noclegu i z załatwieniem spraw czekać do rana”.

Niezależnie od tego, czy wszystkie, czy też nie wszystkie przesłanki ważne we wnioskowaniu zostały wyrażone, można ogólnie powiedzieć, że wnioskowanie pogłębia naszą wiedzę. Z wiadomości aktualnie posiadanych (przesłanek) otrzymujemy pewne nowe wiadomości (wnioski) drogą samego tylko rozumowania, bez korzystania bezpośrednio z wiadomości cudzych czy z nowych doświadczeń.

1.3. Logika podaje schematy i sposoby przeprowadzania poprawnych wnioskowań

Oczywiście nie każde rozumowanie pogłębia naszą wiedzę i nie każde wzbogaca ją w wiadomości prawdziwe. Rozumowanie, jak każda inna czynność, może być wykonane błędnie i wtedy trudno na wnioskach polegać. Ponadto jeżeli przesłanki w rozumowaniu były fałszywe, to można również nie mieć zaufania do wniosków, a to choćby opierając się na analogii z pewnymi innymi czynnościami. Przesłanki (założenia) są jakby materiałem, tworzywem wnioskowania, a wnioski są wytworem wnioskowania. Analogia z różnymi czynnościami wytwórczymi pomoże nam również ustalić, kiedy wnioskowanie należy nazwać poprawnym. Jeśli zastanowimy się nad jakąś czynnością wytwórczą, to każdy się zgodzi, że czynność wytwórczą można nazwać dobrą (sprawną), gdy przy jej pomocy właściwy materiał zostaje przetworzony na właściwy wytwór. Szewc dobrze szyje buty, gdy z dobrej skóry robi zawsze dobre buty. Tak samo można powiedzieć o wnioskowaniu. Pewien sposób wnioskowania jest dobry, gdy z dobrych przesłanek stale uzyskuje się dobre wnioski. Powstaje tylko pytanie, kiedy przesłanki lub wnioski należy nazwać dobrymi. Ponieważ nie mamy na myśli celów tylko doraźnie praktycznych, zatem każdą wiadomość możemy nazwać dobrą, gdy jest prawdziwa. Przesłanki lub wnioski są więc dobre, czyli właściwe wtedy, gdy są prawdziwe, tzn. gdy są zgodne z rzeczywistością. Sposób wnioskowania nazwiemy więc dobrym lub lepiej poprawnym, gdy od prawdziwych przesłanek prowadzi zawsze do prawdziwych wniosków.

Takie określenie poprawnego wnioskowania nie daje nam na razie żadnego przepisu, jak należy rozumować, aby przeprowadzać poprawne wnioskowania. Wykrycie przepisów tego typu wydaje się jednak bardzo ważne. Nic też dziwnego, że różni myśliciele od dawna próbowali podać różne przepisy (reguły, schematy) poprawnych rozumowań, które od prawdziwych przesłanek prowadzą niewątpliwie do prawdziwych wnio-sków. Myślicieli tych nazywamy logikami, a naukę ustalającą ogólne sposoby (schematy) poprawnych wnioskowań — logiką formalną.

1.4. Logika a filozofia

Do logiki, jak do każdej prawie nauki, zaliczano w ciągu wieków badania bardzo różne. Obecnie też spotyka się różne poglądy na przedmiot logiki, jednakże przepisy lub schematy poprawnych rozumowań zawsze były i są do niej zaliczane, chociaż różni logicy wiążą z nimi różne filozoficzne poglądy. Z tych też względów odróżnia się często logikę filozoficzną jako tę dziedzinę rozważań filozoficznych, która wiąże się z metodami poprawnych rozumowań, od logiki formalnej będącej zbiorem metod poprawnego wnioskowania rozważanych tylko z punktu widzenia ich sprawności. W dalszym ciągu będziemy się zajmowali tylko logiką formalną.

Rozważania filozoficzne związane z logiką formalną są znacznie trudniejsze od rozważań tutaj przedstawionych. Należy je zakwalifikować w skali trudności do badań znacznie bardziej zaawansowanych. Książeczka straciłaby swój przystępny, elementarny charakter, gdyby zagadnienia te w niej poruszać.

Pierwsze ogólne schematy poprawnych rozumowań systematycznie sformułował już w starożytności filozof grecki Arystoteles (384–322 p.n.e.). Niezależnie od niego stoicy, na przykład Chryzyp (ur. około 280 p.n.e.) i inni również zajmowali się nieco innym rodzajem schematów poprawnych wnioskowań. Następnie w średniowieczu trochę rozwinięto i wzbogacono starożytne schematy wnioskowań. Później w erze nowożytnej pewien postęp w logice zaczął się od czasów filozofa i matematyka G. W. Leibniza (1646–1716), ale dopiero w drugiej połowie XIX i w XX wieku (G. Boole (1815–1864), G. Frege (1848–1925) i inni) rozpoczął się w logice okres intensywnego rozwoju, który spowodował, że logika stała się osobną, bogatą dyscypliną naukową. Ten ostatni okres silnego rozwoju ma swe źródło w badaniach nad podstawami matematyki.

Matematyka bowiem jest nauką, w której wnioskowanie odgrywa najważniejszą rolę w porównaniu z rolą, jaką odgrywa ono w innych naukach. Wszystkie twierdzenia matematyczne oparte są na ścisłych dowodach polegających na wyciąganiu wniosków z powszechnie przyjętych ogólnych matematycznych postulatów. Nic też dziwnego, że uczeni, analizując rozumowania matematyczne, wykryli w nich najwięcej schematów (sposobów) poprawnego wnioskowania. Stąd logika współczesna nosi nazwę logiki matematycznej, ponieważ bada przede wszystkim rozumowania matematyczne. Logika współczesna nazywa się też logiką symboliczną, gdyż schematy poprawnych wnioskowań ujmuje przy pomocy symboli logicznych będących krótkimi znakami zastępującymi dłuższe zwroty językowe.

W dalszym ciągu omówimy podstawową część logiki matematycznej — tzw. logikę zdań. Na jej przykładzie poznamy bliżej, na czym polegają nowoczesne logiczne schematy poprawnych wnioskowań i w jaki sposób posługujemy się symbolami logicznymi w logice współczesnej. W ten sposób zaznajomimy się z podstawowymi pojęciami logiki matematycznej.

Spośród powojennych podręczników logiki wymienimy następujące (w kolejności od łatwych do trudniejszych)[1]:

T. Kotarbiński, Kurs logiki dla prawników, Warszawa 1954.

K. Ajdukiewicz, Zarys logiki, Warszawa 1953.

H. Greniewski, Elementy logiki formalnej, Warszawa 1955.

A. Mostowski, Logika matematyczna, Warszawa–Wrocław 1948.

T. Czeżowski, Logika, Warszawa 1949. Podręcznik dla studiujących nauki filozoficzne.

Przypisy

[1] Patrz też: T. Hołówka, Kultura logiczna w przykładach, WN PWN, Warszawa 2007; M. Omyła, Zarys logiki, WSiP, Warszawa 1995; K. Szymanek, Sztuka argumentacji. Słownik terminologiczny, WN PWN, Warszawa 2008 (przyp. red.).