Spis treści

Karta redakcyjna

Wstęp

O zdaniach identycznościowych

Prawda i niesprzeczność.

Uwagi o pojęciu aksjomatyzowalności w odniesieniu do logiki

O filozoficznym sensie metamatematycznych twierdzeń limitacyjnych

Konstruktywizm i metamatematyka

Pętle semantyczne

Świat logiki. Ile wartości logicznych i jakie?

Nicość, filozofia i Dom Kereta

Konwencjonalizm a prawdziwość

Ontologia i metafizyka krasnoludków

Świat rzeczywisty i światy możliwe

Ontologia i mereologia

Prawda i możliwość

Bruno Schulz i realizm magiczny

Operator decyzyjny a negacja

Dlaczego matematyka nie jest redukowalna do logiki?

Bibliografia

Źródła artykułów

Przypisy

© Copyright by Copernicus Center Press, 2017
© Copyright by Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie, 2017
© Copyright by Jan Woleński

Projekt okładki: MARIUSZ BANACHOWICZ

Adiustacja i korekta: ARTUR FIGARSKI

Skład: ADAM DĄBROWSKI

ISBN 978-83-7886-307-6

Wydanie pierwsze

Kraków – Rzeszów 2017

Publikacja została dofinansowana ze środków MNiSW na utrzymanie potencjału badawczego Wydziału Administracji i Nauk Społecznych Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie

Copernicus Center Press Sp. z o.o.
pl. Szczepański 8, 31-011 Kraków
tel./fax (+48 12) 430 63 00
e-mail: marketing@ccpress.pl
Księgarnia internetowa: http://en.ccpress.pl

Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania
z siedzibą w Rzeszowie
ul. Sucharskiego 2,
35-225 Rzeszów
tel. (+48) 17 866 11 11
e-mail: wsiz@wsiz.rzeszow.pl
www.wsiz.rzeszow.pl

Konwersja: eLitera s.c.

WSTĘP

Niniejszy zbiór zawiera wybór moich artykułów opublikowanych w latach 2004–15 wedle kolejności wyznaczonej przez chronologię. Przeważają w nim prace dotyczące logiki w szerokim tego słowa znaczeniu, tj. semantyki, logiki formalnej i metodologii nauk. Aby jednak pokazać, że filozof analityczny żyje nie tylko tym, co logiczne, zamieściłem też szkice o Domu Kereta, ontologii krasnoludków (to żaden żart) oraz Brunonie Schulzu i realizmie magicznym. Nic nie zmieniałem i nic nie dodałem pod względem treściowym, chociaż niejedno zapewne zasługuje na poprawki i uzupełnienia. Bibliografia i przypisy zostały ujednolicone.

Dziękuję Copernicus Center Press za wydanie kolejnego tomu moich prac oraz Wyższej Szkole Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie za pomoc finansową w tym przedsięwzięciu.

O ZDANIACH IDENTYCZNOŚCIOWYCH

Wittgenstein (Wittgenstein 1922, 5.5303) powiada tak: „Mówiąc nawiasem: powiedzieć o dwu rzeczach, że są identyczne, to niedorzeczność; a powiedzieć o jednej, że jest identyczna sama z sobą, to nie powiedzieć nic”.

Zdanie to jest powszechnie interpretowane jako odmawiające identyczności charakteru relacji. Kwestionuje ono zatem standardowy sposób rozumienia identyczności w logice, tj. jako dwuargumentowej relacji. Dodatkowo, Wittgenstein uznając zdania identycznościowe jako niedorzeczności lub nic niemówiące, wyraźnie je zdyskredytował. Z drugiej strony, wedle Tarskiego (Tarski 1994, s. 55; odniesienia do stron dotyczą tłumaczeń polskich, o ile są podane w bibliografii), identyczność jest najważniejszym pojęciem logicznym spoza rachunku zdań. Jest to stanowisko diametralnie różne od tego, które znajdujemy w Traktacie Wittgensteina, ponieważ implikuje, że zdania identycznościowe na pewno nie są ani trywialne, ani niedorzeczne.

Być może tak znaczna różnica w traktowaniu identyczności, jak ta pomiędzy Wittgensteinem a Tarskim, wypływa z faktu, że identyczność i zdania identycznościowe sprawiają poważne kłopoty filozofom. Formalnie, tj. z logicznego punktu widzenia, wszystko jest w porządku. Rachunek predykatów I rzędu z identycznością powstaje przez dodanie do stałych logicznych rachunku zdań (np. implikacji i negacji) oraz kwantyfikatorów (uniwersalnego i egzystencjalnego, o ile mamy negację i pracujemy w logice klasycznej, to wystarczy jeden z nich) nowego pojęcia, mianowicie dwuargumentowego predykatu, zwykle oznaczanego symbolem =. Jego sens wyznaczony jest przez aksjomaty:

(A1) x = x;

(A2) x = y ⇒ y = x;

(A3) x = y ∧ y = z ⇒ x = z,

oraz regułę zastępowania (schemat)

(RZ) jeśli (x = y) ∧ P(x), to P(x/y)[1].

Predykat identyczności nie jest definiowalny w logice predykatów I rzędu. Można to jednak uczynić w logice II rzędu przez (zasada Leibniza)

(DI) x = y ⇔ ∀P(Px ⇔ Py)[2].

Implikacja z lewa na prawo wyraża to, iż przedmioty identyczne mają takie same własności, natomiast implikacja odwrotna stwierdza, że dwa przedmioty mające takie same własności są identyczne[3]. Zasada Leibniza pociąga (A1) – (A3) i (RZ), ale nie odwrót, ponieważ w logice I rzędu nie można wyrazić (D1). Zdaniem identycznościowym jest każde zdanie typu

(*) ti = tj,

gdzie t_1 i t_2 są termami oraz uniwersalne i egzystencjalne domknięcia (*), tj. formuły o postaci (**) ∀titj(ti = tj) i (***) ∃titj(ti = tj) oraz negacje formuł typu (*), (**) i (***)[4].

Pierwszy problem dotyczący identyczności polega na pytaniu, czy predykat identyczności jest stałą logiczną czy też nie. O tym, że jest coś niejasnego w tej materii świadczy już chociażby to, że odróżnia się rachunek predykatów bez identyczności i z nią[5]. Racją dla uznania identyczności za pojęcie pozalogiczne jest to, iż można znaleźć zdania identycznościowe, które nie spełniają twierdzeń o inflacji i o deflacji[6]. Twierdzenie o inflacji powiada, że formuła A rachunku predykatów jest spełnialna w niepustej dziedzinie M, to jest też spełnialna w każdej innej dziedzinie zawierającej co najmniej tyle elementów, ile ma uniwersum dziedziny M. Natomiast twierdzenie o deflacji stwierdza, że jeśli jakaś formuła jest prawdziwa w jakiejś niepustej dziedzinie M, to jest prawdziwa w każdej niepustej dziedzinie mającej najwyżej tyle elementów, ile ma uniwersum dziedziny M. Formuła ∀xy(y = x) jest kontrprzykładem dla twierdzenia o inflacji (jest ona spełniona tylko w dziedzinie jednoelementowej i żadnej innej), natomiast formuła ∃xy(x ≠ y) dostarcza kontrprzykładu dla twierdzenia o deflacji (nie jest ona prawdziwa w dziedzinie jednoelementowej). Natomiast oba twierdzenia zachodzą dla formuł bez identyczności[7].

Z drugiej jednak strony, wszystkie podstawowe twierdzenia metalogiczne, w szczególności twierdzenie o pełności (każda tautologia jest dowodliwa) i twierdzenia Lindströma (jeśli jakaś logika jest zwarta i posiada własność Löwenheima-Skolema, to jest równoważna logice elementarnej, tj. takiej, gdzie kwantyfikuje się tylko po zmiennych indywiduowych; są i inne wersje tego twierdzenia) zachodzą zarówno dla logiki predykatów z identycznością, jak i bez niej. Ta druga, podobnie jak pierwsza, nie wyróżnia żadnej stałej pozalogicznej. Te fakty motywują traktowanie identyczności jako pojęcia logicznego[8].

Nawet jeśli uznamy, że kwalifikacja identyczności jako pojęcia logicznego lub pozalogicznego jest w jakiejś mierze konwencjonalna, to nie można w taki sposób potraktować głośnych trudności związanych ze zdaniami identycznościowymi.Trudności takich jest co najmniej sześć[9]. Oto one:

(I) Problem Fregego (Frege 1892).

(1) Zdanie Wenus = Wenus,

jest tautologią, specjalnym przypadkiem (A1). Skądinąd wiadomo, że Gwiazda Wieczorna jest tym samym ciałem niebieskim, co Wenus. Możemy więc zastąpić ‘Wenus’ przez ‘Gwiazda Wieczorna’, co daje

(2) Wenus = Gwiazda Wieczorna.

Zdanie to zawiera jednak całkowicie nową treść w porównaniu z (1). Kłopot polega na tym, że od tautologii (1) przeszliśmy, drogą przekształceń wyglądających na logiczne, do (2), które tautologią nie jest i dla swego uzasadnienia wymaga odwołania się do danych empirycznych. Frege rozwiązał ten kłopot przez słynne rozróżnienie sensu i denotacji (w jego terminologii – znaczenia). (1) i (2) mają tę samą denotację, mianowicie prawdę, ale różny sens. Dzieje się tak dlatego, iż wyrażenia ‘Wenus’ i ‘Gwiazda Poranna’ mają tę samą denotację, ale różnią się swoim sensem. Problem polega jednak przede wszystkim na przejściu od tautologii do zdania, które tautologią nie jest, a przynajmniej takiego, co do którego tautologiczności można mieć poważne zastrzeżenia.

(II) Problem zdań identycznościowych z jedną deskrypcją (Russell 1905). Rozważmy zdanie

(3) Walter Scott = autor powieści Waverley.

Ponieważ wyrażenia ‘Walter Scott’ i ‘autor powieści Waverley’ denotują to samo, mianowicie Waltera Scotta, (3) jest rezultatem stosownego zastąpienia w

(4) Walter Scott = Walter Scott.

Rozważany kłopot jest do pewnego stopnia wariantem (I). Różnica polega na tym, że (2) jest zdaniem astronomii, natomiast (4) zdaniem historycznym. Stąd pierwsze może odwoływać się nawet do teorii astronomicznej, natomiast trudno przypuścić, by (4) było rezultatem praw pisania powieści. Z łatwością można sobie wyobrazić tak świat, w którym Walter Scott nie napisałby utworu Waverley, natomiast kosmos, w którym Wenus nie byłaby Gwiazdą Wieczorną wymagałby innych praw przyrody[10]. Russell odmawiał wyrażeniu ‘autor powieści Waverley’ charakteru termu, co prowadzi do odmówienia (3) statusu zdania identycznościowego[11].

(III) Problem zdań identycznościowych z dwoma deskrypcjami (Kripke 1971, 1971a). Rozważmy zdanie

(5) pierwszy król Polski = drugi władca Polski z dynastii Piastów.

Zdanie to powstaje przez stosowne zastąpienie w zdaniu

(6) Bolesław Chrobry = Bolesław Chrobry.

Jest więc konsekwencją tautologii, a jednak możemy sobie wyobrazić świat, w którym pierwszym królem Polski byłby ktoś z innej dynastii lub inny w kolejności władca z dynastii Piastów. Kripke rozwiązał trudność odróżniając sztywne desygnatory (imiona własne, np. Bolesław Chrobry) i deskrypty (np. pierwszy król Polski). Zastępowanie jednych przez drugie nie musi zachowywać tautologiczności.

Niemniej jednak rozwiązanie Kripkego nie wystarcza dla pokonania innego problemu. Rozważmy zdanie

(7) pierwszy król Polski = pierwszy król Polski.

Wygląda ono na tautologię, wszelako wiedząc, że wyrażenie ‘pierwszy król Polski’ denotuje Bolesława Chrobrego, możemy utrzymywać, że pierwszy król Polski nie musiał być pierwszym królem Polski, ponieważ np. mógł nie otrzymać zgody na koronację lub mógłby umrzeć w 989 r.

(IV) Problem Quine’a (Quine 1953, s. 176). Rozważmy zdanie

(8) 9 > 7.

Jest to prawda arytmetyczna. Nawet jeśli nie akceptuje się logicyzmu, można utrzymywać, że zdanie (8) jest prawdą konieczną. Z drugiej strony mamy

(9) liczba planet = 9.

Zastępując ‘9’ przez ‘liczba planet’ w (8), otrzymujemy

(10) liczba planet > 7,

ale trudno uznać to za prawdę konieczną, ponieważ liczba planet mogłaby być inna. Quine traktuje to rozumowanie jako mocny argument przeciwko modalnej logice predykatów.

(V) Problem konieczności dowolnych zdań identycznościowych (Kripke 1971a). Zakładamy x = y oraz (DI), a dokładniej

(11) (x = y) ⇒ (Px ⇒ Py).

Następnik (11) przekształcamy (stosując (RZ)) w

(12) (x = y ) ⇒ (x = x) ⇒ (x = y),

przyjmując, że predykat P wyraża ‘z konieczności ... identyczne z ...’. Ponieważ wyrażenie (x = x) jest tautologią możemy je opuścić, co daje

(13) (x = y) ⇒ (x = y).

Rezultat nie jest intuicyjny, ponieważ np. (12) nie wydaje się prawdą konieczną, skoro jej uzasadnienie ma charakter empiryczny. Kripke utrzymuje, że pewne prawdy konieczne są a posteriori.

(VI) Problem identyczności międzyświatowej. Rozważmy dwa możliwe światy M i M’ takie, że Arystoteles był uczniem Platona w M, a nie był w M’. Stosując (DI) wnosimy, że Arystoteles z M nie może być identyczny z Arystotelesem z M’, ponieważ ludzie nazywani przez ‘Arystoteles’ różnią się własnościami w zależności od tego, czy znajdują się w M czy M’. Niemniej jednak nie wydaje się, by pozostawanie przedmiotu w innej sytuacji niż rzeczywiście zaistniała, prowadziło do destrukcji jego identyczności. Kripke uważa, iż denotaty sztywnych desygnatorów pozostają identyczne poprzez światy, denotaty deskrypcji nie muszą zachowywać identyczności międzyświatowej, a Lewis (Lewis 1968) zaproponował koncepcję, w myśl której Arystoteles z M’ nie jest identyczny z Arystotelesem z M, ale jest jego odpowiednikiem.

Zadaniem dalszych rozważań jest próba rozwiązania wskazanych wyżej trudności w pewien jednolity sposób. Uczynię to poprzez analizę zdań identycznościowych w kategoriach semantyki formalnej, tj. standardowej teorii modeli. Uważam bowiem, że kto stosuje logikę do zdań identycznościowych, obowiązany jest do ścisłego przestrzegania jej semantyki. A nie jest tak zawsze. Kripke powiada np. (Kripke 1971a, s. 106), że sztywny desygnator oznacza przedmioty identyczne międzyświatowo w każdym świecie, w którym istnieją. Nie jest to jednak właściwy sposób wyrażania się, ponieważ nazwa własna z założenia jest niepusta, a więc w ogóle nie ma co rozważać światów, w których jej denotacja nie istnieje[12]. A nie jest to błaha sprawa, ponieważ można zastanawiać się nad światem, w którym np. Arystoteles w ogóle by nie istniał.

Zacznę od zarysowania interpretacji zdań identycznościowych. Dla ustalenia uwagi, będę rozważał zdania typu (*), gdzie oba termy są stałymi indywiduowymi, np. a_1 i a_2. Mamy więc zdanie identycznościowe

(14) a_1 = a_2.

Jak je rozumieć? Znaki a_1 i a_2 są stałymi indywiduowymi, a więc należą do języka. Znak identyczności jest funktorem zdaniotwórczym od dwóch argumentów nazwowych. W notacji Ajdukiewicza ma indeks z/nn. Jest jednak rzeczą oczywistą, że (14) nie wyraża identyczności zachodzacej pomiędzy wyrażeniem a_1 i wyrażeniem a_2[13]. Byłoby wtedy fałszywe. Zdania identycznościowe mają jednak związek z językiem. Może właśnie dlatego Frege twierdził początkowo (Frege 1879, s. 7–9), że identyczność jest relacją pomiędzy treściami nazw[14]. Wedle Wittgensteina (Wittgenstein 1922, 5.53, 5.5301) identyczność przedmiotu wyraża się przez identyczność znaku, a różność przedmiotów przez różność znaków. Identyczność nie jest więc relacją pomiędzy przedmiotami. To stało się podstawą owego „powiedzenia nawiasem”, że zdanie identycznościowe jest albo niedorzeczne, albo nie mówi nic[15]. Rozumienie identyczności wedle wczesnego Fregego czy wczesnego Wittgensteina można nazwać lingwistycznym (wewnątrzjęzykowym).

Jest raczej jasne, że lingwistyczna interpretacja jest niezgodna z intuicjami. Stwierdzając (14) chcemy przecież powiedzieć, że przedmiot oznaczany przez nazwę a_1, powiedzmy przedmiot a, jest identyczny z przedmiotem oznaczanym przez nazwę aj, powiedzmy przedmiotem b[16]. Tutaj jednak pojawia się problem. Wedle jednych, zdanie identycznościowe, o ile jest prawdziwe, stwierdza samoidentyczność przedmiotu z samym sobą. Takie rozumienie identyczności określa się jako przedmiotowe (Morris 1984, s. XI). Prowadzi to do wniosku, że (14), o ile prawdziwe, jest logicznie równoważne zdaniu (a = b). To jednak natychmiast prowadzi do kłopotu (I), bo identycznościowe zdania informatywne nie mogą być logicznie równoważne identycznościowym tautologiom. Frege w okresie późniejszym interpretował zdania identycznościowe w sposób, który niekiedy (Morris 1984, s. XI/XII) określa się jako metajęzykowy. Wedle tej propozycji, prawdziwe zdanie identycznościowe wyraża fakt, że ti i tj są termami koreferencjalnymi.

Będę argumentował, że metajęzykowa analiza zdań identycznościowych jest zgodna z semantyką teoriomodelową i po pewnych uzupełnieniach rozwiązuje trudności (I) – (VI)[17]. Przypuśćmy zatem, że mamy do czynienia z językiem J rachunku predykatów. Jego alfabet zawiera (obok spójników zdaniowych, kwantyfikatorów i symbolu identyczności) jako wyrażenia pozalogiczne: zmienne indywiduowe x_1, x_2, x_3, ..., stałe indywiduowe a_1, a_2, a_3 (założymy, że mamy tylko trzy stałe) oraz litery predykatowe (predykaty; dla uproszczenia będę rozważał jedynie predykaty jednoargumentowe i dwuargumentowe; symbol identyczności został wcześniej uznany za stałą logiczną) P_11, P_12, P_13, ..., P_21, P_22, P_23, .... (pierwsza liczba w indeksie przy predykacie oznacza argumentowość, a druga kolejność na liście predykatów jedno- lub dwuargumentowych)[18]. Interesuje nas interpretacja języka J. Aby ją podać, trzeba dysponować strukturą M = <U, a_1, a_2, a_3, P_12, P_13, ..., P_21, P_22, P_23, ...>, gdzie U jest niepustym zbiorem przedmiotów, a_1, a_2, a_3 są wyróżnionymi elementami wybranymi ze zbioru U, natomiast P_11, P_12, P_13, ..., P_21, P_22, P_23, ... są podzbiorami U (dla każdego i, P1i ⊆ U) lub dwuargumentowymi relacjami określonymi na U, tj. dla każdego j, P2i ⊆ U × U. Struktura M jest właściwa względem języka J jako struktura interpretacyjna, każda stała tego języka (term lub predykat) ma denotację w M, tj. wtedy, gdy jest co najmniej tyle samo wyróżnionych elementów uniwersum modelu, ile jest stałych indywiduowych, co najmniej tyle określonych własności, ile jest predykatów jednoargumentowych oraz co najmniej tyle określonych relacji, ile jest predykatów dwuargumentowych w J[19].

O ile struktura M jest właściwa, to jest potencjalną interpretacją (realizacją) dla języka J. Staje się interpretacją aktualną, o ile zostanie określona funkcja wartości (funkcja interpretacyjna) v taka, że v(xi) ∈ U (wartość zmiennej jest jakimś elementem zbioru U), v(aj) = aj (j = 1, 2, 3) (wartość stałej jest ustalonym elementem U), v(Pkl) = Pkl (wartością predykatu jest podzbiór lub relacja; będę mówił o atrybutach i relacjach). Funkcja v nie jest różnowartościowa, tj. nie musi być tak, że różnym termom czy predykatom przyporządkowane są różne wartości, aczkolwiek oczywiście nie może być tak, że temu samemu wyrażeniu przyporządkowane są różne wartości. To, że v nie jest funkcją różnowartościową sprawia, iż ten sam przedmiot może mieć dwie nazwy. Jeśli mamy interpretację, to możemy w znany sposób zdefiniować prawdziwość. Ograniczam się wyłącznie do formuł atomicznych i identycznościowych, co pozwala na podanie definicji wprost, a nie za pośrednictwem pojęcia spełniania. Jeśli A = P1j(ti), to A jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy v(ti) ∈ v(P1j), tj. dokładnie wtedy, gdy ai ∈ P1j; jeśli A = P_2k(ti tj), to A jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy <v(ti), v(tj)>∈ v(P2k), tj. wtedy, gdy <ai, aj> ∈ P2k; jeśli A = (ti = tj), to A jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy v(ti) = v(tj), tj. wtedy, gdy ai = aj. W ten sposób otrzymujemy precyzyjną odpowiedź na pytanie, co stwierdza prawdziwe zdanie identycznościowe. Stwierdza ono mianowicie, że termy, które są argumentami symbolu identyczności są koreferencjalne, tj. mają te same wartości na mocy działania funkcji v[20].

Przyjmijmy, że nasz język ma takie oto stałe: ‘Sokrates’, ‘Platon’, ‘Arystokles’, oraz predykaty „jest filozofem”, „jest uczniem”. Przyjmujemy, że stałe są interpretowane zgodnie z wiedzą z zakresu historii filozofii. Prawdziwe są zdania (ignoruję czas): (a) ‘Sokrates jest filozofem’, (b) ‘Platon jest filozofem’, (c) ‘Arystokles jest filozofem’, (d) ‘Platon jest uczniem Sokratesa’, (e) ‘Arystokles jest uczniem Sokratesa’, (f) ‘Sokrates jest identyczny z Sokratesem’, (g) ‘Platon jest identyczny z Platonem’, (h) ‘Arystokles jest identyczny z Arystoklesem’, (i) ‘Platon jest identyczny z Arystoklesem’. Od razu obserwujemy, że pewne zdania, mianowicie (f), (g), (h) są prawdziwe, jakkolwiek funkcja v została określona, ponieważ zawsze zapewniałaby koreferencjalność. Z drugiej strony, moglibyśmy tak zdefiniować funkcję v, że denotacją termu ‘Arystokles’ byłby Herodot. Wtedy (c) i (i) stałyby się zdaniami fałszywymi. Tak więc wartość logiczna zdań identycznościowych, jak każdych innych, jest zrelatywizowana do interpretacji wyznaczonej przez funkcję v. Prowadzi to do pytania, czym jest język J. Jeśli rozumiemy go jako twór syntaktyczny, to możemy powiedzieć, że ten sam język miewa rozmaite interpretacje, np. jedną taką, w której v(‘Arystokles’) = Platon, a drugą taką, w której v(‘Arystokles’) = Herodot. Jeśli jednak przez język będziemy rozumieć syntaksę plus interpretację, a więc parę Λ = <J, v>, to dwie różne interpretacje tego samego formalizmu syntaktycznego wyznaczają dwa różne języki. Tak czy inaczej, istota sprawy tkwi w interpretacji[21].

Nie mogę już dalej odkładać statusu deskrypcji określonych. Rozważmy wyrażenie ‘najwybitniejszy uczeń Sokratesa’. Na pierwszy rzut oka jest to wyrażenie referencjalne takie, że v(‘najwybitnieszy uczeń Sokratesa’) = Platon. Jasne jest jednak, że funkcja v działa inaczej w tym przypadku niż, gdy v(‘Platon’) = Platon lub v(‘Arystokles’) = Platon. Wszyscy znawcy przedmiotu wskazują, że wyrażenie ‘najwybitniejszy uczeń Sokratesa’ odnosi się do Platona inaczej niż jego imię własne ‘Arystokles’ czy przydomek ‘Platon’. Z tego powodu wolę przyjąć, że zdanie ‘Platon jest najwybitniejszym uczniem Sokratesa’ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy v(‘Platon’) ∈ v(‘jest najwybitniejszym uczniem Sokratesa’), a nie wtedy, gdy v(‘Platon’) = v(‘najwybitniejszy uczeń Sokratesa’). Innymi słowy, deskrypcje traktuję jako skróty predykatów, a nie jako termy[22]. Jest to również motyw, dla którego, z uwagi na jednolitość, przyjąłem transformację n-argumentowych funkcji do n+1-argumentowych relacji, ponieważ funkcje są na ogół wprowadzane deskrypcjami. Tak więc, deskrypcje odnoszą się do atrybutów o specjalnym charakterze, mianowicie atrybutów jednostkowych. Znaczy to, że jeśli P jest predykatem powstającym z deskryptu, to formuła ‘x jest P’, o ile jest spełniona w ogóle, jest spełniona dokładnie przez jeden przedmiot. Niezależnie od tego, czy przyjmiemy deskryptywną czy przyczynową (dokładniej Millowską) koncepcję nazw własnych, predykaty deskrypcyjne zawsze wskazują na przedmioty, które je spełniają w sposób pośredni. Jest również tak, że predykat deskrypcyjny, jak każdy inny, może odnosić się do zbioru pustego. Tak jest np. w przypadku predykatu ‘obecny król Francji’. Tak więc zdanie ‘t jest obecnym królem Francji’ jest fałszywe dla dowolnego termu stałego t[23].

Trzeba teraz zbadać źródła koreferencji termów, ponieważ są one różne. W tym celu wprowadzimy pojęcie klasy abstrakcji termów z uwagi na koreferencjalność. Niech ti będzie dowolnym termem stałym. Symbolem [ti] oznaczymy zbiór wszystkich termów korefencjalnych z ti. Formalnie mamy

(DK) tj ∈ [ti] wtedy i tylko wtedy, gdy v(tj) = v(ti)[24].

Krótko mówiąc [ti] jest klasą abstrakcji z uwagi na koreferencję, która jest relacją równościową, tj. zwrotną, przechodnią i symetryczną. (DK) motywuje następującą regułę zastępowania (wyrażenie tk//tj znaczy ‘wynik zastąpienia termu tj przez term tkj’)

(RZ’) jeśli (ti = tj) ∧ (tk ∈ [tj]), to ti = tk//tj.

Ta właśnie reguła została użyta w wyprowadzeniu (1) z (2). W samej rzeczy, ponieważ ‘Gwiazda Poranna’ ∈ [‘Wenus’], dostajemy, że Wenus jest identyczna z Gwiazdą Poranną.

Trzeba jednak zbadać podstawy koreferencji termów, tj. powody, dla których termy należą do danych klas abstrakcji. Pozwoli to również ustalić warunki stosowalności (RZ’), w szczególności odpowiedzieć na pytanie, czy jest ona wariantem (RZ). Po pierwsze, mamy taką sytuację, że v(ti) = v(tj), ponieważ (ti = tj) jest prawem logiki, tj. (ti = tj) ∈ CnØ. Tak jest tylko w przypadku (A1), tj. formuły x = x i jej podstawień. W samej logice udowodnić można tylko (A1) – (A3) i konsekwencje tych aksjomatów. Wszelako (A2) i (A3) są zdaniami warunkowymi i nie prowadzą do żadnego bezwarunkowego stwierdzenia identyczności. Takim jest tylko (A1) i jego konsekwencje. Także reguła (RZ) nie prowadzi do bezwarunkowych zdań identycznościowych. Reguła (RZ’) jest wtedy trywialnym wariantem (RZ). Możemy teraz powiedzieć, że koreferencja na podstawach czysto logicznych prowadzi do wzajemnie rozłącznych klas jednostkowych typu [t], dla każdego termu stałego danego języka. Jest tak przy dowolnej funkcji wartości v[25].

Koreferencja może być także gwarantowana przez teorie naukowe. I tak zdanie

(15) 8 = 16 : 2

jest prawdziwe, ponieważ ‘8’ ∈ [‘16 : 2’] i w konsekwencji mamy

(16) v(‘8’) = v(‘16 : 2’)[26].

Zdanie (16) nie jest jednak gwarantowane przez czystą logikę. Uzasadnienie koreferencjonalności termów ‘8’ i ‘16 : 2’ odwołuje się do arytmetyki. Mamy więc,

(17) (v(‘8’) = v(‘16 : 2’)) ∈ CnAR.

Możemy to również zapisać jako

(18) 8 = 16 : 2 ∈ CnAR.

Niemniej jednak potrzebny jest tutaj dodatkowy komentarz. Identyczność liczby 8 i liczby stanowiącej wynik podzielenia liczby 16 przez liczbę 2 jest ustalona z uwagi na strukturę <N, 1, 2, 3, ... =, :> i jej interpretację, taką, że każdy obiekt w N jest liczbą naturalną. W szczególności nie możemy powiedzieć, że liczba osiem jest równa ułamkowi 16/2, ponieważ elementami N są liczby naturalne, a nie ułamki. Przypuśćmy jednak, że rozwijamy arytmetykę liczb wymiernych. Na pierwszy rzut oka wystarczy powiedzieć, że termy ‘8’ i ‘16 : 2’ oznaczają tę samą liczbę wymierną. Taki sposób mówienia nie jest jednak przyjęty w matematyce. Aby zdefiniować liczby wymierne wprowadza się klasy abstrakcji od ułamków p/q i r/s[27]. Dwa ułamki należą do tej samej klasy, gdy ps = qr. Liczba wymierna nie jest wtedy takim czy innym ułamkiem z danej klasy abstrakcji, ale całą taką klasą, tj. obiektem typu [p/q]. Termy odnoszące się do liczb wymiernych w tym rozumieniu oznaczają właśnie klasy abstrakcji, a nie poszczególne ich elementy. Niech Q oznacza zbiór liczb wymiernych. Nie można powiedzieć, że 16 : 2 ma te same własności w N, co 16/2 w Q, np. 16 : 2 nie jest ułamkiem w N, a jest w Q. Trzeba więc wziąć pod uwagę własności wyrażalne w danej teorii[28]. Mimo że (16 : 2) = 16/2, to nie można stosować (RZ), bo z tego, że 16/2 jest ułamkiem w Q, nie wynika, że jest tym samym, co 16 : 2 w N. Tak więc reguła zastępowania definiuje pewien istotny rys identyczności, który nie występuje przy równościach elementarnej algebry liczb. Tedy (por. Kleene 1967, s. 158) odróżnia się identyczność, tj. relację określoną przez (A1) – (A3) oraz (RZ) od równoważności (lub równości) spełniającej jedynie aksjomaty (A1) – (A3)[29].

W ogólności, o ile mamy teorię T i zdanie identycznościowe ti = tj takie, że

(19) (ti = tj) ∈ CnT,

to stosowne klasy abstrakcji dla termów ti i tj, klasy [ti] i  [tj] są porównywane z uwagi na teorię T. Jeśli teoria ta prowadzi do wniosku, że ti ∈ [tj] wtedy i tylko wtedy, gdy ti ∈ [tj], to wtedy mamy prawo uznać zdanie ti = tj w oparciu o teorię T i definicję (DK). Ustalenie T-koreferencjalności termów jest w gruncie rzeczy aplikacją (DI) do własności generowanych przez T i tym samym sankcjonuje (RZ) i (RZ’), ale tylko wobec własności definiowalnych w T i termów T-korefencjalnych z uwagi na te własności. Koreferencja może wywodzić się z wiedzy empirycznej, niekoniecznie teoretycznej. Tak jest w przypadku zdania (1), które ma oparcie w obserwacjach astronomicznych. Z kolei zdanie ‘Platon = Arystokles’ znajduje swe uprawnienie w wiedzy historycznej. Może być wreszcie tak, że v(ti) = v(tj) zachodzi na mocy czystej umowy, np. zdecydowałem się nazywać psa ‘Burek’ przed południem, a ‘Rex’ po południu. Zawsze jednak musi być tak, że (ti = tj) ∈ CnX, gdzie zbiór X = Ø lub X ≠ Ø. W tym pierwszym przypadku korefencjonalność jest oparta na podstawach logicznych, natomiast w drugim jest wyznaczona pewnym zbiorem informacji pozalogicznych. Mogą one pochodzić z teorii, mniej lub bardziej systematycznej wiedzy empirycznej lub nawet konwencji nadających nazwy. Stosownie do tego trzeba interpretować reguły (RZ) i (RZ’). W szczególności ustalenie, że (ti = tj) ∈ CnX zawsze musi poprzedzać ich stosowanie. Tylko w takim przypadku można traktować (RZ’) jako wariant (RZ). Załóżmy (a) (ti = tj) ∈ CnX oraz (b) tk ∈ [tj]. Zastosowanie (RZ) do (a) daje (pomijam relatywizację do X) (c) dla każdego P, jeśli Pti, to Ptj. Z kolei (b) prowadzi do (d) v(tj) = v(tk). (RZ) i (d) implikują (e) dla dowolnego P, jeśli Ptj to Ptk. Ostatecznie, (c) i (e) pociągają tj = tk[30].

Kusi powiedzieć, że mamy do czynienia z identycznością logiczną, teoretyczną, empiryczną i konwencjonalną. To wydaje mi się całkowicie błędne. Koreferencjalność nie jest relacją pomiędzy przedmiotami, ale zachodzi lub nie wśród termów z uwagi na ich denotacje. Co najwyżej można odróżniać koreferencjalność logiczną, teoretyczną, empiryczną czy konwencjonalną (może jeszcze inną). W gruncie rzeczy mamy do czynienia z rozmaitymi kryteriami uznawania zdań identycznościowych. Sprawa ta wiąże się z  głośnym rozróżnieniem identyczności absolutnej i identyczności relatywnej. Za autora tej dystynkcji powszechnie uchodzi tutaj Geach. Wedle niego, zdanie identycznościowe winno być sformułowane jako

(20) x jest tym samym P, co y (Geach 1972, s. 238; 1973, s. 292)[31].

Geach twierdzi, że żadne zdanie identycznościowe nie jest absolutne. Krótko: każda identyczność jest relatywna. Niektórzy ujmują stosunek pomiędzy identycznością absolutną a identycznością relatywną w ten sposób, że (DI) definiuje identyczność absolutną, a (20) (lub jakaś jego modyfikacja) określa sens identyczności relatywnej[32]. Tak więc x i y są identyczne absolutnie, to są identyczne pod każdym względem, tj. podzielają wszystkie własności. Dalej, skoro identyczność pod każdym względem pociąga identyczność pod pewnym względem, to identyczność absolutna jest szczególnym przypadkiem identyczności relatywnej[33].

Identyczność relatywna jako identyczność pod jakimś względem jest w gruncie rzeczy podobieństwem pod tym właśnie względem[34]. I rzeczywiście, identyczność absolutna jest szczególnym przypadkiem podobieństwa. Jeśli weźmie się pod uwagę koreferencjalność, to zachodzi poważna różnica pomiędzy nią a identycznością. W mojej nomenklaturze, jest tak

(21) jeśli ti i t j są koreferencjalne, to v(ti ) = v(t j) i na odwrót, tj. wartości koreferencjalnych termów są identyczne oraz identyczność wartości termów pociąga ich korefencjalność. Zależność (21) jest spełniona przez identyczność relatywną tylko częściowo, gdyż wprawdzie wartości termów koreferencjalnych są identyczne, to wcale nie musi być na odwrót, nawet w przypadku znacznego podobieństwa, np. bliźniacy bywają praktycznie nierozróżnialni, ale na pewno nie są identyczni w sensie absolutnym. Nie definiuję identyczności absolutnej formułą ((v(ti ) = v(t j)) ∈ CnØ, ani też identyczności relatywnej formułą ((v(ti ) = v(t j)) ∈ CnX, gdy X ≠Ø. Identyczność przedmiotu jest zawsze ta sama, tj. jest autoidentycznością, tożsamością z samym sobą[35]. Mamy jedynie rozmaite kryteria ustalania identyczności, mniej lub bardziej absolutne. To najbardziej absolutne, tj. logiczne, w gruncie rzeczy jest puste. To zapewne zmyliło Wittgensteina, ponieważ pustość treściowa nie oznacza w tym przypadku trywialności kryterialnej. Wymagania w tym względzie są ustanowione przez (DI) i pozostają takie same dla każdego zdania identycznościowego.

Przechodzę teraz do kłopotów (I) – (VI).

Ad (I). Jak już zauważyłem, przejście od (1) do (2) opiera się na (RZ’). Nie jest to jednak po prostu reguła zastępowania, która odwołuje się do czystej logiki. Rozumowanie przebiega w istocie rzeczy tak: (a) Wenus = Wenus; (b) v(‘Gwiazda Poranna’) = v(‘Wenus’) wedle obserwacji astronomicznych; a więc (c) Wenus = Gwiazda Poranna. W istocie rzeczy, przesłanka (a) jest całkowicie zbędna, ponieważ (c) wynika już z (b). Istotna jest tylko implikacja (b) ⇒ (c). Wszelako nawet gdy ktoś zechce rozpatrywać derywację (c) z (a) i (b), a nie tylko z samego (b), nie będzie mógł utrzymywać, że drogą czysto logiczną przeszedł od tautologii do nietautologii, ponieważ po drodze zastosował regułę (RZ’) korzystając z informacji pozalogicznych, mianowicie opartych na obserwacjach astronomicznych. Fakt ten jest odzwierciedlony przez treść (2) bogatszą od treści (1). Rozwiązanie to nawet nie wymaga powiedzenia (jak do uczynił Frege), że (1) i (2) mają tę samą denotację, a różny sens. W rozwiązaniu tutaj proponowanym, uznanie (1) i (2) odwołuje się do innych kryteriów identyczności.

Ad (II) i (III). Zdania (3), (5) i (7) w ogóle nie są zdaniami identycznościowymi, ponieważ występują w nich deskrypcje. Zaczynam od zdania (3). Powinno być rozumiane jako

(22) Walter Scott jest autorem powieści Waverley,

a jego charakterystyka semantyczna jest dana przez

(23) v(‘Walter Scott’) ∈ {v(‘jest autorem powieści Waverley’)}.

Kształt (23) ujawnia od razu, że nie mamy tutaj do czynienia z koreferencjalnością termów, ale z ekstensją predykatu ‘jest autorem powieści Waverley’. (22) nie mogło więc powstać drogą zastąpienia termu ‘Walter Scott’ przez wyrażenie „jest autorem powieści Waverley’. Wprawdzie bycie autorem powieści Waverley jest atrybutem jednostkowym, ale to sugeruje tylko tyle, że o ile formuła ‘x jest autorem powieści Waverley’ jest w ogóle spełniona, to jest spełniona przez jeden przedmiot. Jest też oczywiście tak, że Walter Scott mógł nie napisać powieści Waverley. Znaczy to, że istnieje taki możliwy świat, w którym zdanie ‘Walter Scott jest autorem powieści Waverley’ jest fałszywe.

Zdanie (5) wygląda na takie, które może być rozwinięte do

(24) a jest pierwszym królem Polski wtedy i tylko wtedy, gdy a jest drugim władcą Polski z dynastii Piastów.

Skoro jednak dopuszczamy, że mogło być inaczej niż głosi to zdanie, to powinniśmy je rozumieć jako

(25) a jest pierwszym królem Polski w świecie M wtedy i tylko wtedy, gdy a jest drugim władcą Polski z dynastii Piastów w świecie M, z charakterystyką semantyczną

(26) v(‘a’, M) ∈ {v(‘jest pierwszym królem Polski’, M)} wtedy i tylko wtedy, gdy v(‘a’, M) ∈ {v(‘jest drugim władcą Polski z dynastii Piastów’, M)}.

Może być tak (i faktycznie było, tj. zdarzyło się w realnym świecie historycznym), że v(‘a’) = v(‘b’) i w konsekwencji, v(‘a’) ∈ {v(‘jest pierwszym królem Polski’)} wtedy i tylko wtedy, gdy {v(‘b’) ∈ v(‘jest drugim władcą Polski z dynastii Piastów’)}, ale mogło być inaczej, tj. istnieje taki możliwy świat M’, że (26) jest fałszem.

Podobnie, nie powinno się analizować (7) tylko jako

(27) a jest pierwszym królem Polski wtedy i tylko wtedy, gdy a jest pierwszym królem Polski.

Translacja ta zachowuje tautologiczność, a wtedy nie można myśleć, że mogłoby być inaczej. Jeśli jednak przekształcimy (27) w (28) dla każdego M i każdego x, a jest pierwszym królem Polski w M wtedy i tylko wtedy, gdy x jest pierwszym królem Polski w M,

to trudność znika. Opuszczając kwantyfikator wiążący zmienną indywiduową i wprowadzając stosowną stałą indywiduową, tj. ‘Bolesław Chrobry’ otrzymujemy,

(29) dla każdego M, v(‘Bolesław Chrobry’, M) ∈ {v(‘pierwszy król Polski’, M)} wtedy i \wtedy, gdy v(‘Bolesław Chrobry’, M) ∈ {v(‘pierwszy król Polski’, M)}.

Partykularyzując (29) do historycznego świata realnego otrzymujemy zdanie prawdziwe, ale nie wyklucza to logicznej możliwości fałszu (29), np. z tego powodu, że kto inny został pierwszym królem Polski, czy też dlatego, że Polska nigdy nie byłaby królestwem. W tej drugiej sytuacji ‘jest pierwszym królem Polski’ staje się pusty, ale partykularyzacja (28) do tego świata jest prawdziwa, ponieważ obie jego części są fałszywe dla dowolnego x. (29) nie jest więc tautologią.

Ad (IV) i (V). Zdanie (9) przybiera postać

(30) 9 jest liczbą planet,

a w semantycznej translacji

(31) v(‘9’) ∈ {v(‘jest liczbą planet’)},

gdzie atrybut jest liczbą planet jest jednostkowy. Pierwsza obserwacja polega na tym, że nie można zastąpić ‘liczba planet’ przez ‘9’ w zdaniu (10), ponieważ wyrażenie ‘liczba planet’ nie jest termem, ale skrótem dla predykatu. Na to jednak można odpowiedzieć, iż jeśli przedmiot u spełnia formułę ‘x jest P’, gdzie predykat P wyznacza jednostkowy atrybut v(P), to wówczas wolno uznać zdanie u = v(P)[36]. Wtedy zauważamy, iż zdanie (8), jeśli jest konieczne, to dzieje się tak na innych zasadach niż w przypadku zdania (10). Konieczność (8) jest arytmetyczna, a (10) – ewentualnie fizyczna. Wynika to z zasad stosowania (RZ’).

Ostatnia uwaga prowadzi do rozwiązania problemu konieczności dowolnych prawdziwych zdań identycznościowych. Interpretacja predykatu P w (11) jako ‘z konieczności ... identyczne z ...’ jest wieloznaczna tak długo, jak nie są podane podstawy identyczności. Jeśli są to podstawy logiczne, to można otrzymać tylko[37]

(32) (ti = ti) ⇒ (ti = ti) ⇒ (tj = tj),

co jest trywialnością. Natomiast, jeśli ustalenie, że x = y ma za sobą racje pozalogiczne, to konieczność w wyrażeniu (ti = ti) musi być rozumiana mocniej niż w wyrażeniu (ti = tj). Mamy wtedy

(33) ti = tj ⇒ L(ti = ti) ⇒ X(ti = ti),

gdzie indeksy przy znaku konieczności wskazują na jej rodzaj. W rezultacie otrzymujemy tylko

(34) (ti = tj) ⇒ X(ti = tj).

Semantycznie znaczy to

(35) (v(ti) = v(tj)) ∈ CnX ⇒ X(ti = tj).

Mamy więc co najwyżej konieczność relatywną, a nie absolutną (logiczną)[38].

Ad (VI). Formalnie rzecz biorąc świat (powiedzmy M), w którym Arystoteles jest uczniem Platona, to taki w którym para <v(‘Arystoteles’, v(‘Platon’)> należy do relacji wyznaczonej przez predykat ‘jest uczniem’, natomiast świat (powiedzmy M’), w którym jest inaczej, to taki, w którym wspomniana para do tej relacji nie należy. Świat, w którym Walter Scott jest autorem powieści Waverley, to taki, w którym v(‘Walter Scott’) ∈ v(‘autor powieści Waverley’), natomiast tam, gdzie nie napisał tej powieści, weryfikuje zależność v(‘Walter Scott’) ∉ v(‘jest autorem powieści Waverley’). Podobnie ma się sprawa z Bolesławem Chrobrym jako pierwszym królem Polski w jednym świecie, a nieposiadającym korony polskiej w innym. Problem polega na wartościowaniu termów ‘Arystoteles’, ‘Platon’, ‘Walter Scott’ i ‘Bolesław Chrobry’ w różnych możliwych światach. Semantyka formalna wymaga, by stałe indywiduowe były wartościowane niezmienniczo w ramach danej interpretacji v. Gdy rozpatruje się możliwe światy, to (DK) winna być rozszerzone do

(DK’) tj ∈ [ti] wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego M i M’, v(tj, M) = v(ti, M’)[39].

Znaczy to, że termy mają te same wartości w różnych światach, czyli poprzez światy. To jednak pozostaje w sprzeczności z (DI). Jeśli bowiem rozważamy światy, w którym Arystoteles nie jest uczniem Platona, Walter Scott nie napisał powieści Waverley czy Bolesław Chrobry nie był pierwszym królem Polski, to stosowne indywidua nie mają w pewnych światach pewnych własności (monadycznych lub relacyjnych), jakie posiadają w innych. Zakładamy wtedy, że wprawdzie wartości tych termów są identyczne, ale musimy odrzucić to, że spełniają one dokładnie te same predykaty. I to jest jeden problem związany z identycznością poprzez światy. Inny, też już zaznaczony, polega na rozumieniu stałych indywiduowych w przypadku rozważania światów, w których ich wartości nie istnieją, np. świata bez Arystotelesa czy świata bez Bolesława Chrobrego. Co mamy na myśli, gdy mówimy, że Arystoteles nie byłby uczniem Platona, gdyby nie istniał? Istnienie nie jest tutaj żadnym tajemniczym pojęciem. Przedmiot u istnieje w świecie M, gdy należy do jego uniwersum U(M). Sprawa polega jednak na tym, że każda stała indywiduowa musi coś denotować, a zakładamy, że term ‘Arystoteles’ nic nie denotuje w jakimś świecie M, tj.

(36) nie istnieje w świecie M takie x, że v(‘Arystoteles’, M) = x.

Znaczy to jednak, że wyrażenie ‘Arystoteles’ nie jest termem w odniesieniu do świata M. Założyliśmy jednak, że należy do naszego języka J właśnie jako term, co przesądza, iż musi być niepusty w każdym modelu właściwym dla J. Mamy więc sprzeczność.

Rozwiązanie problemu identyczności międzyświatowej może iść w kilku możliwych kierunkach[40]. Po pierwsze, można przyjąć esencjalizm, tj. pogląd, że o identyczności decydują stosowne cechy istotne. Drugim rozwiązaniem jest teoria odpowiedników. Unika ona esencjalizmu, ale jest wysoce sporne, co miałoby być koniecznym warunkiem dla bycia odpowiednikiem, np. Arystotelesa ze świata M w świecie M’. Obie koncepcje prowadzą do relatywnego rozumienia identyczności. Tak więc przedmioty identyczne są takie wedle pewnego zbioru cech, np. wspólnego i niepustego przekroju wyznaczonego przez wszystkie atrybuty ze wszystkich modeli. Nie jest jednak jasne, czy taki zbiór istnieje, a przede wszystkim, jakie warunki winien spełniać poza tym, że jest niepusty. Ponadto, i może najważniejsze, relatywna identyczność nie pociąga koreferencjalności, a o nią głównie chodzi. Trzeba więc to dodać jako osobny warunek[41].

Ostatnie dwa zdania sugerują drogę wyjścia z trudności. Potrzeba nam takiej konstrukcji, która osłabi pojęcie identyczności, ale zachowa korefencjalność jako konsekwencję identyczności międzyświatowej. W tym celu przyjmę, że każde indywiduum u wyznacza atrybut {u}. Jest to atrybut jednostkowy, ale w przeciwieństwie do atrybutów denotowanych przez deskrypcje nie wiąże się z jakąś treścią, ale z samym faktem istnienia przedmiotu. Nazwę go autoatrybutem. Mając więc term ti możemy utworzyć autotrybut {v(ti)}. Ponieważ logika gwarantuje niepustość termów stałych, autoatrybuty wyznaczone przez stałe rozważanego języka są też niepuste. Jeśli zatem pracujemy w określonej interpretacji języka J, to z definicji funkcji v wynika, że v(ti) ∈ {v(ti)} dla dowolnego termu stałego i dla dowolnego modelu M(J). Ponieważ autoatrybuty są zbiorami jednostkowymi, są dla danego termu równe poprzez światy wedle formuły

(37) ∀MM’({v(ti, M)} = {v(ti, M’)}) ⇔ (v(ti, M) ∈ {v(ti, M)} ⇔ v(ti, M’) ∈{v(ti, M’)}).

Sugeruje to następującą definicję identyczności miedzyświatowej =m

(DIM) v(ti) =m v(tj) w klasie K wszystkich interpretacji języka J wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego M ∈ K, (v(ti, M) ∈ {v(ti, M)} ⇔ v(tj, M) ∈{v(tj, M)}).

Pojęcie ukształtowane przez (DIM) jest oczywiście słabsze niż identyczność zdefiniowana przez (DI). Bierze ono pod uwagę tylko równość autoatrybutów, a nie wszystkich atrybutów. Formuła ti = ti jest tautologią, ponieważ v(ti) ∈ {v(ti)} dla każdego M. Każdy przedmiot jest więc identyczny sam z sobą w sensie absolutnym w każdym konkretnym możliwym świecie, ale nie międzyświatowo. Znaczy to, że indywidua mogą mieć różne własności i pozostawać w różnych relacjach w zależności od światów, w których egzystują. W każdym razie, relacja = (identyczność absolutna) jest szczególnym przypadkiem relacji =m, tj. identyczności międzyświatowej. Nawiasem mówiąc, (DIM) wygląda na dobrą definicję sztywnego desygnatora w sensie Kripkego[42].

Pozostaje jeszcze kwestia pustości termów w pewnych światach. Jeśli chcemy pozostać w zgodzie z semantyką formalną, to nie ma innej drogi, jak zdaje się, by zmienić interpretację języka. Załóżmy, że chcemy dopuścić pustość termu ti w świecie M’, aczkolwiek term ten jest niepusty w świecie M. Zmieniamy wyjściowy język J na J’ w ten sposób, że usuwamy z niego ti, a na to miejsce prowadzamy pusty autoatrybut {v(‘jest ti’)}. Wszystkie inne rzeczy pozostają bez zmiany. W świecie M’ zachodzi

(38) nieprawdą jest, że istnieje takie x, że v(ti) = x.

Zdanie (38) jest fałszywe w M. Świat M’ jest modelem języka J’, nie modelem języka J. Ponieważ jednak języki te różnią się nieznacznie, można w jakimś intuicyjnym sensie traktować M’ jako możliwy świat z uwagi na J. Nie jest to jednak w pełni ścisłe[43].

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki

PRZYPISY

O ZDANIACH IDENTYCZNOŚCIOWYCH

[1] Mamy tutaj właśnie do czynienia z zastępowaniem, a nie podstawianiem, co pozwala na zastąpienie nie wszystkich wystąpień zmiennej x przez zmienną y.

[2] (DI) pozwala zapisać (RZ) w postaci „dla dowolnego P, jeśli (x = y) oraz Px, to Px/y”.

[3] W bardziej swobodnym sformułowaniu: to, co identyczne jest nieodróżnialne i na odwrót.

[4] Termem jest wyrażenie mogące stać w formule typu Px na miejscu zmiennej x. Przykładami termów są zmienne indywiduowe i stałe indywiduowe. Sprawę zakresu terminu „term” przedyskutuję później. Negację zdania typu (8), tj. zdania t_1 = t_2, tj. zdanie ¬(t_1 = t_2) notuje się jako t_1 ≠ t_2.

[5] Nazwa „rachunek predykatów” będzie odtąd skrótem dla „rachunek predykatów I rzędu”.

[6] Nazwy pochodzą z (Massey 1970, s. 249, 255).

[7] To, że twierdzenia o inflacji i deflacji nie zachodzą względem rachunku predykatów z identycznością, ma związek z definiowalnością w nim tzw. kwantyfikatorów ilościowych, np. „istnieje dokładnie jedno x takie, że”. Dodam, że Quine (Quine 1970, s. 118) rozważa inny argument przeciwko uznaniu predykatu identyczności za stałą logiczną, to mianowicie, że można przy jej pomocy wyrazić uniwersalne domknięcie (A1), tj. formułę ∀x(x = x). Argument ten jednak silnie zależy od poglądu Quine’a w sprawie przechodzenia na poziom semantyczny i nie wydaje się przekonywujący.

[8] Można zastanawiać się, czy identycznościowe kontrprzykłady dla twierdzeń o inflacji i deflacji rzeczywiście stanowią jakiekolwiek argumenty przeciwko uznaniu predykatu identyczności za stałą logiczną. To, że subteorie spełniają więcej twierdzeń metalogicznych niż ich nadteorie jest rzeczą notoryczną. Monadyczny (tj. wyłącznie z predykatami jednoargumentowymi) rachunek predykatów jest rozstrzygalny, a zawierający formuły z predykatami wieloargumentowymi nie jest. To oczywiście nie powód, by predykaty monadyczne zaliczyć do stałych logicznych. Rachunek zdań (a jest to subteoria rachunku predykatów) jest post-zupełny, a rachunek predykatów nie jest. Byłby to więc argument za tym, aby kwantyfikatorów nie uważać za stałe logiczne. Nie jest też tak, że formuły rachunku predykatów bez identyczności nie determinują specjalnych dziedzin. Rozważmy np. formułę ∀xy¬(Pxy ⇔ Pyx). Jest ona prawdziwa w dziedzinie bez relacji symetrycznych (w dziedzinie z uniwersum składającym się z osób w różnym wieku i relacją „bycia starszym od”, a fałszywa, gdy takie relacje są obecne. Logika predykatów implikuje w ogólności, że dziedzina jest niepusta. Tak jest już w przypadku logiki predykatów bez identyczności. Gdy dodamy identyczność, można zdefiniować kwantyfikatory ilościowe (por. przypis poprzedni), ale nie udowodnić, że istnieje n przedmiotów dla n > 1. Przepiszmy oba kontrprzykłady następująco: (a) jeśli istnieje dokładnie jeden przedmiot, to formuła ∀xy(x = y) jest prawdziwa w takiej sytuacji; (b) jeśli istnieją co najmniej dwa przedmioty, to formuła ∃xy(x ≠ y) jest prawdziwa. Można je wyrazić również w języku przedmiotowym jako odpowiednio (c) ∃!x ⇒ ∀xy(x = y); (d) ∃xPx ∧ ∃yPy ∧ (x ≠ y) ⇒ ∃xy(x ≠ y). Wtedy jednak mamy do czynienia z tautologiami rachunku predykatów z identycznością. Logika jest pojmowana albo jako zbiór CnØ albo jako para <L, Cn>, tj. albo jako zbiór konsekwencji zbioru pustego, albo jako operacja konsekwencji logicznej nad sformalizowanym językiem L. Wedle mojego poglądu (zob. Woleński 1999), pierwsze rozumienie jest właściwe. Wtedy (c) i (d) nie stanowią problemu. Natomiast przy pojmowaniu logiki jako <L, Cn> powstają wątpliwości jak traktować predykat identyczności w kontekście (c) i (d). Zaznaczam jednak, że nic w tym artykule nie zależy od tego, jaką definicję logiki, z dwóch podanych, wybierzemy jako trafną. Sytuacja może zmienić się w związku z definiowaniem pojęć logicznych niezależnie od uznania, że są stałe logiczne logiki I rzędu (ewentualnie z identycznością). Taką drogę obrał Tarski w swym głośnym artykule (Tarski 1986a), gdzie pojęcia logiczne są określone jako niezmiennicze z uwagi na dowolne permutacje elementów dziedziny. Identyczność jest wtedy pojęciem logicznym. Feferman (zob. Feferman 1999) zaproponował inne ujęcie, w myśl którego pojęcie jest logiczne, jeśli jest inwariantne ze względu na przekształcenia homomorficzne. Identyczność nie spełnia tego kryterium, co ma związek z niezachodzeniem twierdzeń o inflacji i deflacji.

[9] Od razu zaznaczę, że nie rozważam kłopotów związanych z identycznością przedmiotów zmieniających się w czasie (rzeka Heraklita, statek Tezeusza), czy zachowania się predykatu identyczności w kontekstach silnie intensjonalnych, np. epistemicznych (por. przypis następny). Por. Wiliams (1989) i Noonan (1993) (antologia tekstów) w sprawie problematyki związanej z pojęciem identyczności.

[10] Trzeba tutaj założyć, że wyrażenie ‘Gwiazda Wieczorna’ nie jest beztreściową nazwą własną, ale wyraża pewną treść.

[11] Russell rozważał (3) i (4) w kontekście intensjonalności wskazując, że jeśli Jerzy IV chciał dowiedzieć się, czy Walter Scott jest autorem powieści Waverley, to nie znaczy, że chciał dowiedzieć się, czy Walter Scott jest Walterem Scottem. Podobnie, wiedza, że Wenus jest Wenus nie jest tym samym, co wiedza, że Wenus jest Gwiazdą Wieczorną.

[12] Chyba, że pracuje się w logikach wolnych, tj. bez założeń egzystencjalnych, ale Kripke tego bynajmniej nie zastrzega. Innym niestandardowym systemem logicznym stanowiącym otoczenie dla pojęcia identyczności jest ontologia Leśniewskiego. Identyczność definiuje się w niej fomułą (a = b) ⇔ (a ε b) ∧ (b ε a). Identyczność jest więc definiowalna elementarnie w ontologii Leśniewskiego.

[13] Nawet w przypadku zdania ti = ti mogą powstać wątpliwości, czy argumenty znaku identyczności są identyczne. Można je przecież odróżnić lokacyjnie, tj. wedle tego, że pierwszy jest na lewo, a drugi na prawo od symbolu =. Dodatkowo zależy to od pojmowania symboli dla termów jako znaków-egzemplarzy znaków typów. O ile przyjmie się tę drugą interpretację, można powiedzieć, że zachodzi identyczność pomiędzy ti i ti .

[14] Potem zmienił swój pogląd, opierając rozumienie identyczności na odróżnieniu sensu i denotacji.

[15] Nie jest trudno pokazać, że Wittgenstein nie miał racji, przynajmniej w kwestii niedorzeczności zdań identycznościowych. Jeśli zdanie o dwóch przedmiotach, że są identyczne, jest niedorzeczne, to jego negacja również taka musi być. Wszelako zdanie (a = b) trudno uznać za niedorzeczność. O ile przedmioty, o których mowa, są różne, to nasze zdanie jest prawdziwe, a więc dorzeczne. To, że zdanie (a = a) nie mówi nic, wynika z poglądu Wittgensteina w sprawie tautologii.

[16] Dalej wskażę, że ten sposób mówienia nie jest w odpowiedzi właściwy.

[17] Nie wnikam w rozmaite subtelności związane z przedmiotowym czy metajęzykowym rozumieniem zdań identycznościowych (por. w tej sprawie: Morris 1984; Fiengo, May 2002). I tak np. powiada się, że (14) stwierdza zachodzenie relacji pomiędzy przedmiotem a i przedmiotem b lub też, że orzeka zachodzenie relacji koreferencjalności pomiędzy termem a i termem b. Tego rodzaju oświadczenia mogą prowadzić do rozmaitych nieporozumień, np. sugerować, że relacja identyczności zachodzi w pewnych przypadkach pomiędzy dwoma przedmiotami lub też, iż jest ona określona na termach. Por. przypis poprzedni.

[18] Od razu powstaje pytanie: a co z symbolami funkcyjnymi? Standardowy opis języka rachunku predykatów, zwłaszcza w przypadku zastosowań, wymienia symbole funkcyjne i traktuje je jako termy. Symbolem funkcyjnym jest w arytmetyce np. +. Jest to nazwa sumy. Termem jest też wyrażenie x + y. Wiadomo jednak, że n-argumentowe funkcje są n+1-argumentowymi relacjami z dodatkowym warunkiem wskazującym, że każdej parze <x, y> z dziedziny relacji odpowiada jeden i tylko jeden element z przeciwdziedziny. W tym sensie, wyrażenie „suma x i y” zostaje przekształcone w „z jest sumą x i y”, tj. w „z = x + y”. To ostatnie wskazuje na relację. Symbol identyczności pełni istotną rolę w transformowaniu funkcji w relacje. Z powodów później podanych nie chcę uważać symboli funkcyjnych za termy, podobnie jak deskryptów.

[19] Formalnie rzecz ujmując, chodzi o to, że typ języka J i typ struktury M muszą być zgodne.

[20] Warto zwrócić uwagę na różnicę pomiędzy zdaniami identycznościowymi a zdaniami równoważnościowymi. Te drugie, np. zdanie A ⇔ B, wyrażają stosunek równoważności pomiędzy zdaniami a nie ich denotacjami, czymkolwiek by one były, np. wartościami logicznymi (Frege) lub sytuacjami (Suszko). Nie zmienia to faktu, że zdanie A ⇔ B jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy v(A) = v(B).

[21] Jeszcze wrócę do tej kwestii.

[22] Por. Woleński (1996) dla dalszych argumentów za tym stanowiskiem.

[23] Nie powinno się zdań identycznościowych z predykatami deskrypcyjnymi oddawać za pomocą zwrotu (+) ‘a jest identyczne z P’, aczkolwiek jest to dopuszczalne gramatycznie. Symbol identyczności jest, jak już zaznaczyłem, funktorem o indeksie z/nn, natomiast indeks ‘jest identyczne z’ przedstawia się zgoła zagadkowo. Trzeba więc rozumieć ‘jest identyczne z’ jako rozwinięcie ‘jest’. Muszę przy tym zaznaczyć, że motywacja dla traktowania deskrypcji jako skrótów dla predykatów dotyczących atrybutów jednostkowych ma charakter merytoryczny, a nie jedynie formalny, jak to jest w przypadku funkcji. Na ogół uważa się, że pojęcie funkcji jest naturalniejsze niż korespondującej z nią relacji, ponieważ ów dodatkowy warunek zapewniający funkcyjny charakter n+1-argumentowej relacji jest sztuczny z uwagi na ogólną definicję relacji jako zbioru uporządkowanych zbiorów przedmiotów. Z formalnego punktu widzenia jest rzeczą obojętną, czy funkcje interpretuje się jako relacje, czy nie. Ponieważ jednak funkcje określa się zwrotami deskrypcyjnymi, zdecydowałem się na jednolitość ujęcia. Dodam jeszcze, że deskrypcje w matematyce, np. ‘najmniejsza liczba naturalna’, a także funkcje, np. ‘następnik liczby n’ uważa się za sztywne desygnatory. Nie jest jednak jasne, czy dotyczy to wszystkich przypadków. Deskrypt ‘najmniejsza niestandardowa liczba naturalna większa od wszystkich liczb standardowych’ jest pusty w standardowym modelu arytmetyki, a niepusty w modelu niestandardowym. Dla pewnych celów wygodnie jest traktować stałe indywiduowe jako funkcje zeroargumentowe. Uwagi w tym przypisie mają związek z przykładem wyrażonym w zdaniu o numerze (7). Istotnie można sobie pomyśleć możliwy świat, w którym v(„pierwszy król Polski” w naszym świecie) ∉ v(„pierwszy król Polski” w możliwym świecie M’).

[24] Konstrukcja klasy abstrakcji termów z uwagi na koreferencjalność jest motywowana przez konstrukcję (Lindenbaum) klasy abstrakcji zdań z uwagi na równoważność logiczną: B ∈ {A} wtedy i tylko wtedy, gdy B ∈ Cn{A} i  A ∈ Cn{B}.

[25] Tak samo jest zresztą w przypadku uwzględnienia zmiennych indywiduowych, aczkolwiek z zastrzeżeniem, że stabilnej interpretacji stałych nie musi odpowiadać stabilna interpretacja zmiennych. W naszym przykładzie, v(‘Sokrates’) = Sokrates, dopóki nie zmienimy v, ale wartościowanie to toleruje (tj. nie prowadzi do zmiany interpretacji języka) np. v(xi) = Platon czy v(xi) = Arystoteles, oczywiście nie zarazem, a tylko kolejno. Każde wartościowanie zmiennych logicznie wyznacza jednostkowe i wzajemnie rozłączne klasy abstrakcji dla każdej zmiennej. Logika nie decyduje jednak, jakie wartościowanie zmiennych jest zgodne lub niezgodne z wartościowaniem stałych. Tak więc uwzględnienie zmiennych sprawia, że na podstawach czysto logicznych nie możemy rozstrzygnąć o składzie i rozłączności poszczególnych klas abstrakcji z uwagi na koreferencję. Wiemy tylko, że są to klasy niepuste.

[26] W tym przykładzie wyrażenie ‛16 : 2’ traktuję jako term.

[27] Por. (Kleene 1967, s. 158–160).

[28] Zwrócił na to uwagę Czeżowski. Por. (Czeżowski 1969, s. 111/112: tekst odczytu wygłoszonego w 1951 r.).

[29] Por. (Kleene 1967, s. 157–158).

[30] Podobnie można uzasadnić, że (RZ) jest wariantem (RZ’).

[31] Nie rozważam tutaj charakteru kwalifikacji P. W ogólności jest to rzeczownik pospolity, a więc oznaczający pojęcie rodzajowe. Przedmiotem ożywionej dyskusji jest to, czy P może być terminem kolektywnym. Por. (Griffin 1977, s. 25–33) w tej sprawie. Na potrzebę relatywizacji pojęcia identyczności zwrócił uwagę Czeżowski (Griffin 1977, s. 111). Jest to zapewne pierwsza próba ścisłego wprowadzenia identyczności w sensie relatywnym.

[32] Por. (Griffin 1977; Noonan 1980; Wiggins 2001) dla różnych problemów z odróżnieniem tych dwóch rodzajów identyczności.

[33] Geach nie akceptuje tej tezy, ale nie miejsce tutaj, by szerzej zajmować się tą kwestią. Warto jednak zauważyć (por. Grzegorczyk 1973, s. 279), że każda teoria z predykatem P= rozumianym jako identyczność (niekoniecznie absolutna) ma przeliczalny lub skończony model z absolutnym pojęciem identyczności. Uzyskuje się go przez zaastosowanie, swobodnie mówiąc, kongruencji z uwagi na koreferencjalność. Fakt ten silnie przemawia przeciwko stanowisku Geacha.

[34] Potoczne rozumienie wymaga znacznego podobieństwa, a nie byle jakiego.

[35] Jeszcze raz przypominam, że nie dotykam kwestii identyczności przedmiotów zmieniających się w czasie.

[36] W istocie rzeczy Quine identyfikował zbiór jednostkowy z jego elementem.

[37] Stosuję symbolikę niniejszego artykułu.

[38] Ma to oczywiście znaczenie dla kwestii aposterioryczności pewnych prawd koniecznych. Moim zdaniem mamy tutaj do czynienia z apriorycznością relatywną. Por. (Woleński 2001, s. 143–157) dla szerszej analizy tego zagadnienia.

[39] Indykacja do dwóch światów wskazuje, że koreferencjalność w sensie (DK’) działa międzyświatowo, a nie tylko wewnątrzświatowo.

[40] Rozmaite aspekty tej kwestii są dyskutowane w antologiach (Adams 1979; Szubka 1995) oraz w monografii (Lewis 1986).

[41] Nie wspominam tutaj o rozmaitych zastrzeżeniach filozoficznych wobec esencjalizmu czy realizmu modalnego. Pragnę bowiem uniezależnić rozważania semantyczne od konfliktów w metafizyce.

[42] Idea atuoatrybutów ma filozoficzną motywację w koncepcji przedmiotów Dunsa Szkota i w koncepcji tzw. własności niewłaściwych (por. Loux 2002, s. 115–116), tj. takich, które zakładają pojęcie indywiduum jako czegoś wcześniejszego od pojęcia własności. „Bycie identycznym z obiektem a” jest taką własnością niewłaściwą. Muszę jednakże dodać tutaj dwa zastrzeżenia. Po pierwsze, autoatrybuty nie wymagają przyjęcia, że przedmioty mają swe indywidualne istoty (haeceitates). Po drugie, priertowność przedmiotów wobec ich własności nie znaczy, że istnieją przedmioty nieposiadające żadnych własności innych niż autoatrybuty. Z drugiej strony, odpowiedniki w sensie Lewisa, czy uznanie identyczności międzyświatowej za relatywną, pozostają w związku z tzw. klasową koncepcją przedmiotu (indywiduum jest wiązką własności). Nie twierdzę jednak, że te filiacje są konieczne.

[43] Jeśli możliwe światy traktuje się jako modele w sensie metamatematycznym, to trzeba pamiętać, że takie operacje na modelach, jak rozszerzanie, kontrakcja czy zanurzenie zachowują denotacje stałych. Tak więc, jeśli funkcja v przyporządkowuje jakieś denotacje termom ‘Platon’ i ‘Arystoteles’, to wspomniane operacje ich nie mogą zmienić, w szczególności sprawić, że termy niepuste staną się puste. Przypuśćmy, że nasz pierwotny model ma zbiór Greków za swoje uniwersum. Możemy model rozszerzyć, ale Arystoteles musi w nim pozostać i to jako uczeń Platona. Podobnie ani jednego, ani drugiego nie można usunąć z uniwersum. Dlatego możliwe światy w sensie metafizycznym nie mogą być utożsamiane z modelami w sensie metamatematycznym.