Spis treści

1. W co wierzą matematycy?

2. Topologia

1. Kształt

2. Rozmaitości

Tytuł oryginału: Math Without Numbers

Przekład: Dawid Czech
Opieka redakcyjna: Katarzyna Nawrocka
Redakcja merytoryczna: Tomasz Zamek-Gliszczyński
Redakcja: Jarosław Lipski
Korekta: Anna Strożek

Projekt okładki i stron tytułowych: Joanna Wasilewska / KATAKANASTA
Ilustracja na okładce: © larry603/Shutterstock

Copyright © 2021 by Milo Beckman

Ilustracje: M Erazo

Fotografia na s. 222 © Michael Tuchband, University of Colorado Boulder

Copyright for the Polish edition and translation © JK Wydawnictwo, 2022

Wszelkie prawa zastrzeżone. Żadna część tej publikacji nie może być powielana ani rozpowszechniana za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych bez uprzedniego wyrażenia zgody przez właściciela praw.

ISBN 978-83-966143-0-8
Wydanie I, Łódź 2022

JK Wydawnictwo
ul. Krokusowa 3, 92-101 Łódź
tel. 42 676 49 69
www.wydawnictwofeeria.pl

Wersję elektroniczną przygotowano w systemie Zecer

Dla Eriq za zachęcenie mnie do napisania tej książki.
Dzięki dla Taylora za sprawdzenie moich obliczeń, Portii za dialog i M za nadanie wszystkiemu kształtów.

Topologia

Kształt
Rozmaitości
Wymiary

Kształt

My, matematycy, lubimy dzielić włos na czworo. Tak już mamy. Bierzemy na warsztat powszechnie zrozumiałe pojęcie, takie jak symetria lub równość, i rozkładamy je na części w poszukiwaniu głębszego sensu.

Weźmy na przykład kształt. Każdy przynajmniej z grubsza ma pojęcie, co się pod tym kryje. Wystarczy, że rzucimy okiem na daną figurę geometryczną i od razu wiemy, czy to kwadrat, trójkąt, okrąg czy cokolwiek innego. Matematycy będą jednak drążyć temat: czym właściwie jest kształt? Co sprawia, że dana figura ma go taki, a nie inny? Klasyfikując przedmioty według kształtu, nie zważamy na ich rozmiar, kolor, przeznaczenie, wagę ani wiek. Nie zaprzątamy sobie też głowy innymi, bardziej przyziemnymi faktami na ich temat, jak chociażby tym, kto przyniósł te klamoty i czy zabierze je ze sobą. Na co zatem zwracamy uwagę? Co dokładnie próbujemy zakomunikować naszym rozmówcom, gdy stwierdzamy, że coś ma na przykład kształt okręgu?

Odpowiedzi na te pytania nie mają oczywiście żadnej praktycznej wartości. Na co dzień sprawdza się bowiem nasze intuicyjne pojmowanie kształtu – życie nie wymaga od nas precyzyjnego zdefiniowania pojęcia kształtu. Jest to po prostu ciekawy problem teoretyczny, jeżeli mamy akurat czas i ochotę myśleć o takich rzeczach.

Skoro czytasz tę książkę, pozwolę sobie założyć, że dysponujesz jednym i drugim. Zacznijmy od takiego oto prostego pytania:

Wbrew pozorom nie ma ono prostej odpowiedzi. Choć nad hipotezą Poincarégo – bo tak nazywana jest precyzyjnie sformułowana i zawężona wersja tego pytania – matematycy głowią się od dobrych stu lat, nikt nadal sobie z nią nie poradził. A wielu próbowało swoich sił. Pewien matematyk zgarnął niedawno nagrodę w wysokości miliona dolarów za istotny wkład w prace nad rozwiązaniem części tego problemu. Liczne inne kategorie kształtów wciąż pozostają jednak niezgłębione, więc jako globalna matematyczna społeczność wciąż nie wiemy, ile tak naprawdę jest kształtów.

Spróbujmy mimo to zmierzyć się z tym pytaniem. To ile mamy kształtów? Skoro nie bardzo wiadomo, jak w ogóle zabrać się za ten problem, pomocne może być narysowanie kilku figur. Zobaczymy, do czego nas to doprowadzi.

Wszystko wskazuje na to, że nasza odpowiedź będzie zależeć od tego, jakie kryteria podziału przyjmiemy. Czy duży okrąg jest tym samym kształtem co mały okrąg? Czy wszystkie zawijasy tworzą jedną wielką rodzinę, czy należy podzielić je ze względu na sposób, w jaki się zawijają? Aby rozstrzygnąć te i podobne wątpliwości, musimy przyjąć ogólną regułę, która uchroni nas przed podejmowaniem subiektywnych, jednostkowych decyzji.

Możemy zabrać się za to na kilka różnych sposobów. Stolarze i inżynierowie kierują się ścisłymi kryteriami, zgodnie z którymi dwa kształty można uznać za jednakowe jedynie wtedy, gdy wszystkie ich długości, kąty oraz krzywe są dokładnie takie same.

Takie podejście prowadzi nas do dziedziny matematyki zwanej geometrią, która zajmuje się sztywnymi, dokładnie zdefiniowanymi figurami oraz zagadnieniami takimi jak na przykład prostopadłość i pole powierzchni.

Potrzebujemy czegoś ogólniejszego. Spróbujemy znaleźć wszystkie możliwe kształty, nie zawracając sobie głowy skrupulatnym analizowaniem tysięcy przeróżnych zawijasów. Przyjęta przez nas reguła musi na tyle swobodnie traktować kwestię identyczności kształtów, by pozwolić wydzielić nie nazbyt dużą liczbę szerokich kategorii.

Nowa reguła

Dwa kształty są jednakowe, jeżeli jeden można przekształcić w drugi poprzez rozciąganie i ściskanie, ale bez rozrywania i sklejania.

Reguła ta leży u podstaw topologii – ogólniejszej i bardziej odjechanej wersji geometrii. W topologii przyjmuje się, że kształty zbudowane są z cienkiego, nieskończenie rozciągliwego materiału, który można skręcać, ugniatać i naciągać jak gumę lub surowe ciasto. Sam ich rozmiar nie ma żadnego znaczenia.

W tym ujęciu kwadrat i prostokąt są jednakowe, podobnie jak okrąg i owal.

Dalej robi się dziwnie. Zasada rozciągania i ściskania pozwala nam bowiem przekształcić okrąg w kwadrat.

Zanim jednak zaczniesz przekonywać znajomych, że kwadrat i okrąg to ten sam kształt, bo tak napisane było w książce o matmie, pamiętaj, że znaczenie ma tutaj kontekst. Kwadrat i okrąg są w topologii tym samym kształtem. W architekturze, sztuce, codziennym życiu czy nawet geometrii sprawy mają się inaczej. Na rowerze o kwadratowych kołach za daleko nie zajedziesz.

Teraz jednak zajmujemy się topologią, więc nie musimy przejmować się takimi drobiazgami jak wierzchołki, które można przecież zaokrąglić. Staramy się wznieść ponad te powierzchowne różnice w postaci długości, zakrzywień linii i miar kątów, skupiając się wyłącznie na istocie kształtu – na najbardziej podstawowych cechach definiujących dany kształt. W kwadratach i okręgach topologowie widzą jedynie zamkniętą pętlę. Jej wszelkie inne właściwości są wynikiem tego, jak w danym momencie została rozciągnięta i ściśnięta.

To trochę jak z zastanawianiem się nad kształtem naszyjnika. Wszystko zależy od tego, jak go chwycimy: w jednym ułożeniu może być kwadratem, a w innym okręgiem. Bez względu na to, jak będziemy go układać – w kwadrat, okrąg, serce, półksiężyc, kleksa czy studwudziestokąt – wciąż będziemy mogli mówić o pewnym fundamentalnym i niezmiennym kształcie naszyjnika.

Ponieważ przybiera on różne formy, nazwy typowych figur geometrycznych niezbyt dobrze go opisują. Choć niekiedy i tak mówimy o nim jako o okręgu, w topologii przyjęło się bardziej precyzyjne określenie: „S-jeden”[1]. Kształt S-jeden przyjmują naszyjniki, bransoletki, gumki recepturki, tory wyścigowe, zamkowe fosy, granice państw (z wykluczeniem eksklaw takich jak Alaska), litery O i wielkie litery D oraz wszelkie pętle. Geometryczne kształty tych przedmiotów są szczególnymi przypadkami S-jeden – podobnie jak kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta, a okrąg owalu.

Czy istnieją jakiekolwiek inne kształty niż S-jeden? Kiepsko by było, gdyby zasada rozciągania i ściskania okazała się na tyle ogólna, żeby sprowadzać całą różnorodność kształtów topologicznie do jednej niezwykle szerokiej kategorii. Mamy jednak farta: w naszej definicji znajdzie się miejsce dla kształtów innych niż okrąg.

Weźmy na przykład linię.

Możemy ją zakrzywić tak, by jej końce niemal się ze sobą stykały. Aby stworzyć okrąg, musielibyśmy jednak je ze sobą połączyć, a tego zrobić nam nie wolno, bo będzie to już sklejanie. Choćbyśmy nie wiem jak zginali i skręcali linię, na jej końcach zawsze pozostaną dwa punkty, oznaczające zakończenie kształtu. Nie sposób się ich pozbyć. Możemy je przemieszczać i oddalać od siebie, ale zawsze gdzieś będą – są niezmienną właściwością tego kształtu.

Z podobnego względu odrębnym kształtem jest ósemka. Zamiast punktów końcowych w środku tej figury znajduje się specjalny punkt przecięcia linii, z którego rozchodzą się cztery odnogi, a nie dwie. Ósemkę możemy rozciągać i ściskać, ile dusza zapragnie, ale nie pozbędziemy się jej punktu przecięcia.

W sumie to możemy już rozprawić się z naszym pierwotnym pytaniem: ile mamy kształtów? Odpowiedź brzmi: nieskończenie wiele. A oto dowód.

Dowód

Przyjrzymy się pewnej rodzinie kształtów. Jej każdy kolejny członek tworzony jest przez dodanie do poprzedniego dodatkowej poziomej kreski.

Powstałe w ten sposób kształty mają więcej punktów przecięcia i punktów końcowych niż ich „przodkowie”, a zatem rzeczywiście mamy do czynienia z różnymi kształtami. Proces ten możemy powtarzać w nieskończoność, tworząc nieskończenie wielką rodzinę kształtów. Ergo, kształtów jest nieskończenie wiele.

Q.E.D.[2]

Brzmi przekonująco, co nie? Wystarczy, że znajdziemy dowolną rodzinę kształtów, która wyraźnie pokaże, iż jej nowe formy można generować w nieskończoność, powielając ten sam schemat.

Również taka rodzina kształtów sprawdziłaby się jako dowód:

Albo taka:

Ta też by się nadała:

Jak byśmy się do tego nie zabrali, naszym dowodem kierować będzie ta sama logika. Próbujemy wykazać istnienie nieskończonej liczby przypadków pewnego rodzaju, więc opisujemy systematyczny proces ich powstawania.

Taki sposób dowodzenia twierdzeń, zwany dowodem przez wskazanie nieskończonej rodziny, jest powszechnie stosowany w matematyce do wykazywania, że dany zbiór zawiera nieskończenie wiele elementów. Mnie on przekonuje, bo nie potrafię nawet sobie wyobrazić żadnych kontrargumentów, które można by przeciw niemu wytoczyć. Musi istnieć nieskończona liczba elementów określonego typu, skoro możemy bez końca tworzyć ich kolejne warianty.

Taki dowód przemawia nie tylko do mnie: społeczność matematyków uznaje wykazanie istnienia nieskończonej rodziny za poprawną metodę dowodzenia twierdzeń. Nie jest to bynajmniej jedyna metoda tego typu – ta sama logika jest często stosowana także w innych kontekstach. Ludzie parający się matematyką z czasem zaczynają dostrzegać pewne powtarzalne schematy dowodowe i zwykle są zgodni co do tego, które z nich są spoko.

Jeżeli przyjmujesz przedstawiony przeze mnie dowód, to mamy odpowiedź, której szukaliśmy: kształtów jest nieskończenie wiele. Nie jest to może szczególnie interesująca odpowiedź, ale innej nie będzie. Tak to już jest: kiedy zada się pytanie i określi parametry problemu, odpowiedź jest z góry ustalona. Wystarczy ją tylko znaleźć. Pierwsze pytanie, które przyjdzie nam do głowy, niekoniecznie doprowadzi nas do ciekawej bądź pouczającej odpowiedzi. W takiej sytuacji można się poddać i poszukać sobie innego zajęcia albo sformułować lepsze pytanie.

Rozmaitości

Kształtów jest zbyt wiele, żeby wnikliwie przeanalizować je wszystkie, więc topologowie skupiają się jedynie na tych najważniejszych: rozmaitościach. Choć nazwa ta kojarzy się raczej z pudłem starych bibelotów na pchlim targu, rozmaitości są nam wszystkim bardzo bliskie – tak się składa, że mieszkamy na rozmaitości. Okręgi, linie, płaszczyzny i sfery to wszystko rozmaitości – gładkie, proste, jednolite kształty, które dziwnym trafem pojawiają się zawsze wtedy, gdy nauki ścisłe biorą się za badanie fizycznych przestrzeni.

Skoro są tak proste, to pewnie już znaleźliśmy je wszystkie? Bynajmniej. Topologom jest tak głupio z tego powodu, że zaoferowali nagrodę w wysokości miliona dolarów, by zachęcić matematycznie uzdolnionych śmiałków do wytężonych poszukiwań. Jest to największa, wciąż nierozwikłana topologiczna zagadka, spędzająca sen z powiek ekspertom od ponad stu lat:

Lub ujmując problem nieco bardziej precyzyjnie:

Celem matematyków nie jest policzenie ich wszystkich, tylko odnalezienie, nazwanie i podzielenie na kategorie – stworzenie topologicznego przewodnika po rozmaitościach.

Czym w zasadzie jest rozmaitość? Aby kształt załapał się do tej kategorii, musi spełnić ściśle określone kryteria. Selekcja jest tak ostra, że większości się to nie udaje.

Nowa reguła

Kształt jest rozmaitością, jeżeli nie ma żadnych punktów specjalnych: końcowych, przecięcia lub rozgałęzienia ani punktów na krawędziach. Musi w każdym fragmencie być dokładnie taki sam.

Możemy zatem z miejsca wykluczyć nieskończone rodziny kształtów z poprzedniego podrozdziału. Kształty z poziomymi kreskami, wieloma ramionami i podobnymi elementami nie mogą być rozmaitościami. A w związku z tym nasze pytanie o to, ile jest rozmaitości, może mieć definitywną odpowiedź – potencjalnie istnieje ich skończona liczba. Może kiedyś się przekonamy, czy rzeczywiście tak jest.

Przedstawiona definicja nie ogranicza się jedynie do płaskich, „drucianych” kształtów, jak te, które dotychczas rozważaliśmy. Rozmaitościami mogą być także figury wykonane z materiału przypominającego arkusz papieru lub kawałek surowego ciasta. Nasz wszechświat jest najpewniej trójwymiarową rozmaitością. No chyba że jest czymś fizycznie ograniczony lub w jakiś sposób przenika sam siebie.

Na razie zostańmy jednak przy drucianych kształtach – takich, które można stworzyć, rozginając spinacze lub układając kawałek nitki. W topologii nazywamy je jednowymiarowymi, mimo że rysujemy je na dwuwymiarowej kartce. Kluczowe znaczenie ma bowiem materiał, z jakiego kształt jest wykonany.

Jakie rozmaitości możemy zatem stworzyć z nitki? Nie mamy zbyt wielu możliwości. Większość tego, co przyjdzie nam do głowy, ma jakieś specjalne punkty.

Zakrzywienia i zawijasy są okej, bo zawsze można je naprostować. Największym problemem są punkty końcowe. Jak się ich pozbyć?

Istnieją tylko dwa rodzaje rozmaitości jednowymiarowych. Jeżeli nie wiesz jeszcze, o jakie kształty chodzi, oderwij wzrok od tekstu i daj sobie chwilę na zastanowienie, zanim przejdziesz dalej.

Okrąg (alias S-jeden) i nieskończenie długa linia (R-jeden) to jedyne rozmaitości jednowymiarowe. Punktów końcowych można uniknąć, tylko robiąc pętelkę lub rozciągając linię w nieskończoność. Nic innego nie wchodzi w grę. A, i pamiętaj: ponieważ kształty w topologii są rozciągliwe, do rozmaitości jednowymiarowych zaliczymy także wszystkie wariacje na temat pętli oraz nieskończenie długich krzywych, a nie tylko okręgi i proste.

I to tyle, jeśli chodzi o pierwszy wymiar. Nieźle poszło! Jak widać, dość mocno zawęziliśmy nasze początkowe topologiczne poszukiwania. Pierwsze pytanie o liczbę kształtów było zbyt ogólne i zanadto pojemne, ale to, którym kierujemy się teraz, wydaje się o wiele bardziej poręczne, przynajmniej na razie. Przejdźmy na wyższy wymiar.

W przestrzeni dwuwymiarowej szukać będziemy rozmaitości wykonanych z materiału podobnego do arkusza papieru. Nie możemy zapominać, że chodzi nam właśnie o materiał, a nie o wymiary przestrzenne figury. W okolicznościach nietopologicznych większość tych kształtów uznalibyśmy za trójwymiarowe. Są one jedynak wykonane z dwuwymiarowego materiału i tego będziemy się trzymać.

A zatem: jakie rozmaitości możemy stworzyć w ten sposób? Nasz materiał musi być arkuszem jednorodnym, pozbawionym krawędzi i uskoków, za którymi płaszczyzna nagle się urywa. Wróć pamięcią do stwierdzenia z początku podrozdziału, że mieszkamy na rozmaitości. Nie było w tym cienia przesady: powierzchnia Ziemi jest sferą, a ta zaliczana jest do dwuwymiarowych rozmaitości.

Rozciągając i ściskając, możemy ją (sferę, nie Ziemię) przekształcić także w powierzchnię całkowitą jakiejkolwiek innej bryły: sześcianu, stożka, walca czy innego hitu z geometrycznej listy przebojów. Musimy tylko uważać na terminologię. W matematyce sfera jest kształtem pustym w środku – samą powierzchnią – natomiast kula jest wypełniona. W ujęciu topologicznym kula jest trójwymiarowa (stworzona z materiału podobnego do surowego ciasta), więc wrócimy do niej później.

Uogólniona sfera nosi nazwę S-dwa, co nie jest wyborem przypadkowym, bo w końcu sfera jest jak okrąg (czyli S-jeden) na wyższym poziomie. Ta sama logika pozwoli nam odkryć kolejną dwuwymiarową rozmaitość. Jeśli podniesiemy nieskończenie długą linię do drugiego wymiaru, otrzymamy nieskończoną płaszczyznę.

Tę rodzinę kształtów nazywamy R-dwa i wśród jej członków znajdziemy wszelkie nieskończone płaszczyzny dzielące przestrzeń na dwa nieskończone obszary.

Płaskoziemcy – ludzie przekonani, że Ziemia tak naprawdę jest płaskim dyskiem – często stają się przedmiotem drwin, zasłużenie zresztą. Z punktu widzenia topologii ich twierdzenia nie brzmią jednak aż tak absurdalnie. Rozmaitość nie ma żadnych specjalnych punktów, więc jeśli wyobrazimy sobie, że zostaliśmy zrzuceni na jej powierzchnię niczym człowieczek z mapy Google, wszystkie otaczające nas punkty będą dla nas identyczne. Nawet jeżeli rozmaitość ta ma krzywizny, nie dostrzeżemy ich lokalnie, z „poziomu ulicy”, bo jesteśmy na to za mali. Bez względu, w którym punkcie się znajdziemy, nasze otoczenie będzie wyglądać na płaskie.

Istnieją też inne rozmaitości dwuwymiarowe. Więcej wymiarów to większa swoboda ruchu, a to oznacza, że możemy stworzyć rozmaitości dwuwymiarowe niemające żadnych odpowiedników jednowymiarowych.

Weźmy na przykład rozmaitość w kształcie skórki obwarzanka. Gołym okiem widać, że mamy do czynienia z nowym rodzajem rozmaitości – w środku kształtu znajduje się pusta przestrzeń, której nie sposób wypełnić przez rozciąganie i ściskanie. Otwór ten ma jednak pewną osobliwą właściwość: nie posiada żadnych wyraźnych krawędzi. Nie przypomina dziury wyciętej nożyczkami w kartce – ta ma brzeg wypełniony specjalnymi punktami. Otwór w środku obwarzanka jest bardziej subtelny, bo widoczny jedynie z zewnątrz. Gdybyśmy mieszkali na powierzchni planety w kształcie obwarzanka, nigdy byśmy z niej nie widzieli żadnego otworu. Lokalnie nie różniłoby się to od mieszkania na sferze bądź całkowicie płaskiej płaszczyźnie.

Ten nowy rodzaj rozmaitości nazywany jest torusem lub T-dwa i uwzględnia wszystkie kształty z gładkim otworem w środku.

Ale to jeszcze wcale nie koniec dwuwymiarowych rozmaitości. Możemy też stworzyć podwójnego torusa:

A to oczywiście oznacza, że możemy również stworzyć torusa potrójnego, poczwórnego i tak dalej. Słowem, istnieje nieskończona rodzina torusów.

No dobra, czyli nie ma skończonej liczby rozmaitości. To jednak nie powód do zmartwień, ponieważ nie musimy ich wszystkich policzyć, żeby je znaleźć. Naszym celem jest kategoryzacja – staramy się stworzyć listę możliwych rozmaitości, więc nie szkodzi, jeżeli znajdą się na niej nieskończone rodziny. W matematyce abstrakcyjnej nieskończoności są na porządku dziennym, więc trzeba się z nimi po prostu pogodzić.

Wierz lub nie, ale nadal się nie uporaliśmy ze wszystkimi rozmaitościami dwuwymiarowymi. Istnieje jeszcze jeden kształt, który można stworzyć z materiału przypominającego arkusz. Jest tylko pewien szkopuł: to naprawdę dziwna rozmaitość. Nazywana jest płaszczyzną rzutową rzeczywistą. Niestety nie wiem, jak wygląda, więc nie mogę ci jej pokazać. Nikt zresztą tego nie wie, bo w naszym wszechświecie taki kształt nie może istnieć.

Istnieje on jedynie w przestrzeni czterowymiarowej. Bez względu na materiał, z jakiego został wykonany, każdy kształt wymaga pewnej minimalnej liczby wymiarów przestrzennych, w których można go zmieścić. Płaszczyzna zmieści się w co najmniej dwóch wymiarach przestrzennych, sfera – w trzech, a płaszczyzna rzutowa rzeczywista – w czterech.

To skąd w ogóle wiemy, że taka rozmaitość potencjalnie istnieje? Spróbuję to wyjaśnić.

Wyobraź sobie koło, czyli wypełniony okrąg. Choć koło można stworzyć z kawałka arkusza, nie jest ono rozmaitością, ponieważ na jego brzegu znajdują się specjalne punkty. Jeżeli jednak weźmiemy dwa koła i dokładnie zszyjemy je ze sobą, otrzymamy jednolity kształt bez żadnych brzegów, czyli rozmaitość.

W tym wypadku będzie to sfera, co samo w sobie nie jest szczególnie pouczające – o tym, że sfery są rozmaitościami, już wiemy. Przyda nam się jednak koncepcja leżąca u podstaw tego przekształcenia: zszycie (sklejenie) dwóch kształtów zbliżonych do rozmaitości i mających taki sam brzeg daje rozmaitość.

No to teraz wyobraź sobie cienką wstęgę z arkusza skręconą w jednym miejscu. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że ma dwa brzegi, ale przesuwając palcem po górnej krawędzi, zjedziemy na dół, a potem wrócimy w to samo miejsce – czyli tak naprawdę jest tylko jeden brzeg[3].

Bierzmy się zatem do stworzenia płaszczyzny rzutowej rzeczywistej. Brzeg koła ma kształt S-jeden (okręgu), podobnie jak brzeg naszej skręconej wstęgi. Możemy zatem zszyć je ze sobą, żeby stworzyć nową rozmaitość.

Jeśli spróbujesz sobie wyobrazić to przekształcenie albo prześledzić palcami jego przebieg, bardzo szybko napotkasz przeszkodę: koło musi przeciąć własną płaszczyznę, a to stworzyłoby specjalne punkty, których rozmaitości mieć nie mogą. Gdybyśmy jednak zrobili to samo w czterech wymiarach, nie napotkalibyśmy żadnych problemów.

Jak to możliwe? Można to przyrównać do podobnej sytuacji w trzech wymiarach. Ósemka narysowana na płaskiej powierzchni ma środkowy punkt przecięcia. Jeżeli jednak uniesiemy jedną z linii ponad kartkę, dosłownie podnosząc całą figurę do trzeciego wymiaru, punkt przecięcia zniknie. Z płaszczyzną rzutową rzeczywistą jest tak samo, tylko w czterech wymiarach. Ta osobliwa, skręcona rozmaitość przenika własną powierzchnię tylko wtedy, gdy tkwimy w przestrzeni trójwymiarowej. Podniesiona do czwartego wymiaru staje się idealnie gładką, nieprzecinającą się rozmaitością dwuwymiarową.

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki

Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki

[1] Zob. „Nota tłumacza”.

[2] Na końcu dowodu matematycznego zwyczajowo umieszczany jest skrót łacińskiej formuły „quod erat demonstrandum” (w wolnym tłumaczeniu: „co było do udowodnienia”). W polskiej nomenklaturze stosowane są także skróty c.n.d. („co należało dowieść”) lub c.b.d.u. („co było do udowodnienia”; przyp. tłum.).

[3] Tego typu powierzchnia nazywana jest wstęgą Möbiusa (przyp. tłum.).