Tytuł oryginału

SEVENTEEN EQUATIONS THAT CHANGED THE WORLD

Copyright © Joat Enterprises, 2012

First published in Great Britain in 2012 by PROFILE BOOKS LTD

All rights reserved

Projekt okładki

© Profile 2012

Redaktor prowadzący

Adrian Markowski

Redakcja

Anna Kaniewska

Korekta

Bronisława Dziedzic-Wesołowska

ISBN 978-83-7961-547-6

Warszawa 2013

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28

www.proszynski.pl

Aby uniknąć zbyt częstego powtarzania słów „jest równe”, wprowadzę, jak to mam w zwyczaju czynić w swoich pracach, oznaczenie zbudowane z dwóch linii równoległych jednej długości: , trudno byłoby bowiem znaleźć cokolwiek bardziej sobie równego niźli owe linie.

Robert Recorde, The Whetstone of Witte, 1557

Dlaczego właśnie równania?

Równania to siła życiowa matematyki, nauk ścisłych i technologii. Bez nich świat, jaki dziś znamy, nie mógłby zaistnieć. Mimo swojej przydatności równania „cieszą się” opinią nieprzystępnych i trudnych – wydawcy Krótkiej historii czasu ostrzegli jej autora, Stephena Hawkinga, że każde wprowadzone w tekście zmniejszy przypuszczalnie sprzedaż książki o połowę. Ostatecznie jednak zignorowali własne słowa, bo w książce pojawił się wzór E = mc^2. Gdyby wierzyć zapewnieniom wydawców, usunięcie tego równania zapewniłoby sprzedaż dodatkowych 10 milionów egzemplarzy książki. W tej dyspucie zdecydowanie staję po stronie Hawkinga. Równania są zbyt istotne, by ukrywać je przed ludźmi, choć oczywiście wydawcom też nie sposób odmówić racji – wzory matematyczne sprawiają oficjalne, wręcz odpychające wrażenie, a że trudno się je czyta w tekście, ich nadmiar potrafi odstraszyć od lektury nawet tych, którzy darzą je cieplejszymi uczuciami.

Mnie się poszczęściło i mam doskonałą wymówkę, by wprowadzać do książki kolejne wzory. Ostatecznie jest ona poświęcona równaniom, więc nie sposób ich unikać. Przecież nie da się napisać dzieła o alpinizmie, unikając słowa „góra”. Postaram się przekonać czytelników, że równania odgrywają istotną rolę w kształtowaniu świata, jaki znamy – bez nich nie istniałyby mapy ani nawigacja satelitarna, bez nich nie odkrylibyśmy ani Ameryki, ani Jowisza na nocnym niebie. Na szczęście nie trzeba być specjalistą, by docenić piękno i poezję zaklęte w poprawnym i znaczącym coś równaniu.

W matematyce pojawiają się dwa rodzaje równań, pozornie bardzo do siebie podobne. Do pierwszej grupy zaliczamy zależności łączące różnego rodzaju wielkości matematyczne – takie równania wymagają dowiedzenia ich poprawności. Drugą grupę tworzą równania zawierające informacje o nieznanej wielkości – tego rodzaju równania rozwiązuje się, by wyznaczyć z nich tę wielkość. Podział nie jest do końca wyraźny, ponieważ wiele równań zalicza się do obydwu grup naraz, ale daje on pewien pogląd na naturę wzorów. W dalszych rozważaniach spotkamy się z równaniami zaliczającymi się do obydwu tych kategorii.

Równania czysto matematyczne należą zazwyczaj do pierwszej ze wspomnianych grup – opisują skryte głęboko piękne struktury i ukazują regularność matematyki. Zależności te obowiązują, gdy przyjmiemy prawdziwość pewnych założeń dotyczących struktury logicznej matematyki. Twierdzenie Pitagorasa, będące geometrycznym wyrażeniem pewnego równania, jest przykładem tego, o czym mówię. Przy założeniu poprawności podstaw geometrii euklidesowej twierdzenie Pitagorasa jest zawsze prawdziwe.

Równania matematyki stosowanej oraz wzory fizyczne zaliczają się zazwyczaj do drugiej ze wspomnianych kategorii. Za ich pomocą opisujemy rzeczywistość, wyrażamy uniwersalne prawa Wszechświata, które jednak mogłyby równie dobrze przyjmować zupełnie inną postać. Dobrym przykładem równania tego rodzaju jest sformułowane przez Newtona prawo powszechnego ciążenia opisujące siłę przyciągania pojawiającą się między dwoma ciałami o pewnych masach. Rozwiązanie go pozwala wyznaczyć orbitę planety poruszającej się wokół gwiazdy czy też trajektorię lotu sondy kosmicznej. Prawo powszechnego ciążenia nie jest natomiast teorią w rozumieniu matematyki – jego prawdziwość potwierdza się wynikami obserwacji, a to oznacza, że równanie opisujące prawo grawitacji mogłoby mieć zupełnie inną postać. Okazuje się zresztą, że ma inną postać – wzory ogólnej teorii względności Einsteina lepiej pokrywają się z niektórymi obserwacjami, nie przecząc jednak wynikom płynącym z prawa grawitacji Newtona w zakresie jego obowiązywania.

Wzory nieraz wpływały na losy całej ludzkości, kryje się w nich bowiem prawdziwa moc pozwalająca ujawniać najgłębiej skrywane tajemnice natury. Historie dynastii, wojen i klęsk naturalnych pojawiają się na kartach licznych książek historycznych, lecz rzadko kiedy porusza się w nich tematy związane z nauką, która miała przecież niebagatelny wpływ na kształt dziejów. To zdecydowanie niesprawiedliwe. Za czasów rządów królowej Wiktorii w Instytucie Królewskim w Londynie odbył się przeprowadzony przez Michaela Faradaya pokaz dowodzący istnienia zależności między oddziaływaniem elektrycznym i magnetycznym. Rzekomo obecny w czasie prezentacji premier William Gladstone zapytał uczonego, czy z tego odkrycia wynikają jakiekolwiek zastosowania praktyczne. Faraday miał na to jakoby (brak tu jakichkolwiek dowodów, ale to nie powód, by niszczyć piękną anegdotę) odpowiedzieć: „Oczywiście, ekscelencjo. Pewnego dnia nałoży pan na nie podatki”. Jeśli Faraday rzeczywiście stwierdził coś takiego, istotnie wygłosił proroczą przepowiednię, James Clerk Maxwell bowiem przekuł wyniki pierwszych obserwacji oraz empiryczne prawa opisujące elektryczność i magnetyzm w układ równań tworzących podstawę teorii oddziaływań elektromagnetycznych. To dzięki niej udało się skonstruować radio, radar i telewizor.

Moc równania, choć ogromna, jest jednocześnie bardzo prosta. Równanie pozwala stwierdzić, że obliczenia znajdujące się po jego dwóch stronach dają taki sam wynik. Kluczowym czynnikiem równania jest oczywiście znak równości, czyli =. Pochodzenie większości symboli matematycznych albo ginie w pomroce dziejów, albo w niektórych wypadkach jest nam znane, gdyż pewne oznaczenia zostały wprowadzone tak niedawno, że można nawet wskazać ich twórców. Znak równości jest pod tym względem szczególny, gdyż choć po raz pierwszy zastosowano go przeszło 450 lat temu, wiemy doskonale, kto wprowadził ów symbol do języka matematyki. Oznaczenie to zawdzięczamy Robertowi Recorde’owi, który użył go w wydanej w 1557 roku książce The Whetstone of Witte. Posłużył się symbolem dwóch równoległych linii (sam użył archaicznego angielskiego terminu gemowe oznaczającego „bliźniacze”), by uniknąć w ten sposób żmudnego powtarzania frazy „jest równe”. Wybór uzasadniał argumentem, że próżno szukać „czegokolwiek bardziej sobie równego”. Trzeba przyznać, że zdecydował się na wyjątkowo trafne oznaczenie – stosujemy je nieprzerwanie od 450 lat.

Potęga równań kryje się w wywodzącym się z filozofii problemie odnajdowania odpowiedniości pomiędzy opisem matematycznym, dziełem wielu nieprzeciętnych umysłów, a otaczającym nas światem. Równania to modele tego, co obserwujemy na świecie. Gdy nauczysz się widzieć ich wartość i odczytywać skryte w nich informacje, odkryjesz mechanizm funkcjonowania świata. W praktyce stosuje się także inne metody. Wiele osób woli posługiwać się słowami zamiast symboli; pamiętajmy, że język także daje moc władania nad otoczeniem. Jednak doświadczenie nauczyło nas, że słowa są zbyt mało precyzyjne, by stać się narzędziami nauki i technologii; język jest zbyt ograniczony, by pozwolił nam zgłębić strukturę świata. Znaczenie słów gubi się na poziomie interpretacji i ludzkich domysłów, dlatego sam język nie wystarczy, by dokładnie pojąć mechanizmy rządzące światem.

Natomiast równania radzą sobie z tym doskonale. Od tysięcy lat mają istotny wpływ na rozwój cywilizacji. Całe wieki to one pociągały za sznurki na scenie relacji społecznych. Oczywiście, kryły się za kulisami, pozostawały niewidoczne, ale zawsze były, zawsze kształtowały nasze losy, czy ludzkość była tego świadoma czy nie. Oto historia rozwoju ludzkości opowiedziana w siedemnastu równaniach.

Rozdział 1. W obie strony jednakowe spodnie Pitagorasowe

Twierdzenie Pitagorasa

Co z niego wynika?

Określa związek między długościami boków w trójkącie prostokątnym.

Dlaczego jest ono tak ważne?

Dlatego że stanowi połączenie między geometrią a algebrą, dzięki czemu możemy obliczać odległości między punktami, znając ich współrzędne. Dało także podwaliny pod utworzenie trygonometrii.

Co dzięki temu osiągnęliśmy?

Bez twierdzenia Pitagorasa nie rozwinęłyby się miernictwo ani nawigacja, a z bardziej współczesnych odkryć ogólna teoria względności, czyli najlepsze narzędzie opisu przestrzeni, czasu i grawitacji, jakim dziś dysponujemy.

Uczeń poproszony o podanie imienia najsłynniejszego matematyka – o ile w ogóle będzie jakieś znał – przywoła zapewne Pitagorasa, jeśli zaś nie jego, to przypuszczalnie Archimedesa. Nawet znamienity Newton musiałby się zadowolić w takim rankingu trzecią pozycją, ustępując miejsca na podium dwóm znakomitościom świata starożytnego. Archimedes miał prawdziwie wielki umysł, Pitagoras zapewne nie, ale i tak należy mu się większe uznanie, niż dziś skonni bylibyśmy mu przyznać – nie tyle za osiągnięcia, ile za to, czemu dał początek.

Pitagoras urodził się na jednej z greckich wysp Morza Egejskiego, Samos, około 570 roku p.n.e. Był filozofem i geometrą. Nieliczne informacje dotyczące jego życia, jakie przetrwały do naszych czasów, pochodzą z pism znacznie późniejszych, ich wartość historyczna jest więc praktycznie żadna, ale można z dużym prawdopodobieństwem przyjąć, że najważniejsze z podawanych wydarzeń rzeczywiście są prawdziwe. Około roku 530 p.n.e. przeniósł się do Krotony, greckiej kolonii położonej na terenie dzisiejszych Włoch. Tam założył słynną szkołę pitagorejską, grupę zrzeszającą ludzi o określonych poglądach filozoficzno-religijnych. Pitagorejczycy wierzyli, że o kształcie świata decydują liczby. Dziś Pitagorasa kojarzymy przede wszystkim z twierdzeniem jego imienia. Jego treść jest znana od przeszło dwóch tysięcy lat i na stałe weszła już do kultury masowej. W nakręconym w 1958 roku filmie Merry Andrew odtwórca tytułowej roli, Danny Kaye, śpiewał piosenkę zaczynającą się słowami:

Kwadrat przeciwprostokątnej

w trójkącie prostokątnym

jest równy

sumie kwadratów

boków przylegających do kąta prostego.

Piosenka była pełna dwuznaczności oraz nawiązań do odkryć wielkich naukowców – Einsteina, Newtona czy braci Wright – które sprawnie powiązano ze słynnym twierdzeniem matematycznym. Dwaj pierwsi oznajmiali wreszcie „Eureka!”, ale to sprowadza nas już do Archimedesa, któremu historycznie przypisuje się ów okrzyk. Jak się zapewne domyślacie, wierność historii nie była głównym zmartwieniem twórców tekstu, ale produkcje hollywoodzkie przyzwyczaiły nas do tego. Wyprzedzę teraz nieco fakty – otóż z rozdziału 13 dowiecie się, że autor tekstu (Johnny Mercer) jeśli chodzi o Einsteina, nie odbiegł nadto od rzeczywistości.

Twierdzenie Pitagorasa pojawia się w książkach[1], kreskówkach, na koszulkach polo; w Grecji wydano nawet znaczek pocztowy z ilustracją słynnej reguły (można go zobaczyć na rys. 1).

Rysunek 1. Grecki znaczek przedstawiający graficzny dowód twierdzenia Pitagorasa.

Pomimo całego hałasu, jaki powstał wokół wspomnianej reguły, w rzeczywistości nie mamy pojęcia, czy Pitagoras rzeczywiście udowodnił twierdzenie nazwane jego imieniem. Nie jesteśmy nawet w stanie stwierdzić, czy to on je sformułował; równie dobrze mogło zrodzić się ono w głowie któregoś z jego uczniów lub gdzieś w Sumerze czy Babilonie. To właśnie Pitagorasowi jednak przypadła chwała odkrywcy lub chociaż uczonego, który wykazał prawdziwość spostrzeżenia, i tak już zostało. Niezależnie od tego, kto je sformułował, twierdzenie to miało ogromny wpływ na historię człowieka. Można powiedzieć, że otworzyło ono nas na świat.

Grecy nie zapisywali twierdzenia Pitagorasa w postaci równania, jakie znamy dziś ze szkoły – ta forma pojawiła się później, gdy algebra osiągnęła już odpowiedni poziom. W starożytności teorię tę wyrażano słownie oraz geometrycznie. Najstaranniej przedstawił ją na piśmie Euklides z Aleksandrii; to najstarszy znany nam przekaz pisany zawierający wspomniane twierdzenie. Euklides jest uważany za pierwszego współczesnego matematyka, a to za sprawą słynnych Elementów geometrii, najbardziej znaczącego podręcznika do matematyki. Uczony wprowadził do geometrii logikę, wyrażając założenia wprost, w sposób jasny i prosty, a następnie dowodząc wszystkich przedstawionych w podręczniku teorii. W ten sposób, wychodząc z założeń dotyczących najprostszych tworów geometrycznych – punktu, prostej i okręgu – dowiódł istnienia pięciu brył foremnych.

Jednym z największych osiągnięć Euklidesa jest niewątpliwie fakt, że dziś twierdzenie Pitagorasa jest znane jako twierdzenie 47 z pierwszej księgi Elementów geometrii. W jednym z popularniejszych przekładów dokonanych przez sir Thomasa Heatha czytamy: „w trójkącie prostokątnym kwadrat przylegający do boku znajdującego się naprzeciw kąta prostego jest równy kwadratom przylegającym do boków znajdujących się przy kącie prostym”.

Czyli żadnych spodni, żadnej przeciwprostokątnej, żadnego jawnego wspomnienia sumy czy dodawania, jedynie wspomnienie naprzeciwległości. A przecież takie sformułowanie twierdzenia Pitagorasa nie pozostawia wątpliwości, że chodzi o równanie – zawiera bowiem wiele znaczące słowa jest równy.

Wyższa matematyka wymagała od Greków odejścia od zapisu liczbowego na rzecz wyrażania problemów logicznych za pomocą prostych i powierzchni, dlatego też Pitagoras i jego następcy formułowali twierdzenie tak, by opisywało równość odpowiednich płaszczyzn. „Powierzchnia kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku trójkąta prostokątnego jest sumą powierzchni kwadratów utworzonych na jego pozostałych dwóch bokach”. Najdłuższy bok to oczywiście przeciwprostokątna, czyli odcinek leżący naprzeciwko kąta prostego, co widać na ilustracji znajdującej się po lewej stronie rysunku 2.

Z czasem twierdzenie Pitagorasa zyskało formę równania algebraicznego, w której jest używane od niemal dwóch tysięcy lat:

a^2 + b^2 = c^2,

gdzie c jest długością przeciwprostokątnej, a i b zaś to długości pozostałych dwóch boków. Umieszczona w indeksie górnym dwójka oznacza, że dana wartość jest „podnoszona do kwadratu”. W algebrze rozumiemy przez to pojęcie pomnożenie liczby przez samą siebie, natomiast powierzchnię dowolnego kwadratu oblicza się właśnie, podnosząc do kwadratu długość jego boku. Zatem równanie Pitagorasa, jak pozwolę sobie je nazwać, wyraża dokładnie to samo co podana przez Euklidesa formuła. Jedyne, z czego zrezygnowaliśmy, to obciążenie psychiczne związane z rozważaniami nad pojmowaniem idei liczb i powierzchni przez starożytnych Greków.

Równanie Pitagorasa znalazło wiele praktycznych zastosowań. Przede wszystkim wykorzystujemy je do obliczania długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, gdy znane są długości pozostałych dwóch boków. Załóżmy przykładowo, że a = 3 i b = 4. Wtedy, na mocy twierdzenia Pitagorasa, c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25. Zatem c = 5. To słynny trójkąt o bokach 3–4–5 pojawiający się w każdym podręczniku szkolnym, a zarazem najprostsza z pitagorejskich trójek – trzy liczby całkowite spełniające równanie Pitagorasa. Następny w kolejności jest (pomijam tu skalowane wersje pierwszego zestawu liczb, na przykład 6–8–10) zestaw 5–12–13. Takich układów można znaleźć nieskończenie wiele, a Grecy wiedzieli, w jaki sposób je konstruować. Zagadnienie budowania trójek pitagorejskich z liczb całkowitych nadal stanowi istotny i rozwijany problem teorii liczb – nawet w ostatnim dziesięcioleciu odkrywano nowe cechy tych układów.

Oczywiście nie musisz ograniczać się do wyznaczania wartości c przy danych a i b. Możesz rozwiązać równanie Pitagorasa, by wyznaczyć z niego a przy znanych b i c. Dzięki niemu znajdziesz także rozwiązania bardziej złożonych problemów, o czym przekonasz się już za chwilę.

Rysunek 2. Z lewej: Linie pomocnicze potrzebne do przeprowadzenia dowodu prawdziwości twierdzenia Pitagorasa w sposób przedstawiony przez Euklidesa. Pośrodku i z prawej: Inny dowód prawdziwości twierdzenia. Zewnętrzne kwadraty mają identyczne powierzchnie, również powierzchnie zaznaczonych ciemniejszym kolorem trójkątów są sobie równe. Oznacza to, że przechylony nieco biały kwadrat ma taką samą powierzchnię jak suma powierzchni dwóch mniejszych białych kwadratów.

Skąd wiemy, że twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe? Dowód przeprowadzony przez Euklidesa jest skomplikowany. Wymaga wprowadzenia do schematu pięciu dodatkowych linii, co widać na rysunku 2 (z lewej), i odwołania się do kilku udowodnionych wcześniej twierdzeń. W czasach wiktoriańskich chłopcy (w tamtym okresie jedynie nieliczne dziewczęta kształciły się z geometrii) określali ten rysunek prześmiewczo mianem spodni Pitagorasowych. Bardziej bezpośredni i znacznie łatwiejszy do zrozumienia, choć nie tak elegancki dowód sprowadza się do wykorzystania czterech identycznych trójkątów, za pomocą których rozwiązuje się pewną układankę matematyczną (rysunek 2, z prawej). Rysunek przykuwa uwagę, ale zrozumienie istoty tego dowodu wymaga pewnego zastanowienia. Rodzi się na przykład pytanie, skąd wiemy, że przechylona jasna figura na środkowej ilustracji to rzeczywiście kwadrat.

Okazuje się, że istnieją dość mocne dowody świadczące, iż twierdzenie Pitagorasa było znane ludzkości wiele lat przed narodzinami uczonego. Na glinianej tabliczce z Babilonii[2] znajdującej się w British Museum zapisano pismem klinowym zadanie i jego rozwiązanie, które można by odczytać następująco:

Skoro 4 to długość, a 5 to przekątna, ile wynosi szerokość?

4 razy 4 to 16.

5 razy 5 to 25.

Odejmij 16 od 25, a otrzymasz 9.

Jaka liczba, pomnożona przez siebie samą, da 9?

3 razy 3 to 9.

Oznacza to, że szerokość wynosi 3.

Wynika stąd, że Babilończycy znali trójkąt 3–4–5 już tysiąc lat przed Pitagorasem.

Na innej tabliczce babilońskiej – YBC 7289 przechowywanej na Uniwersytecie Yale, którą przedstawia rysunek 3 (z lewej) – znajduje się szkic kwadratu o boku 30, którego przekątna jest opisana dwoma zestawami liczb: 1, 24, 51, 10 oraz 42, 25, 35. Babilończycy posługiwali się systemem zapisu liczb o podstawie 60, zatem pierwszy układ liczb należy rozumieć jako 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3, co w systemie dziesiętnym odpowiada wartości 1,4142129. Wiemy zaś, że pierwiastek kwadratowy z liczby 2 wynosi 1,4142135. Drugi zestaw liczb odpowiada trzydziestokrotnej wielokrotności tej wartości. Oznacza to, że Babilończycy znali wzór pozwalający wyznaczyć długość przekątnej kwadratu jako iloczyn długości boku i pierwiastka kwadratowego z 2. Ponieważ

to zależność wyryta na tabliczce jest po prostu pochodną twierdzenia Pitagorasa.

Rysunek 3. Z lewej: YBC 7289. Z prawej: Plimpton 322.

Jeszcze bardziej niezwykła, choć znacznie mniej przejrzysta jest tabliczka znana jako Plimpton 322 znajdująca się w kolekcji George’a Arthura Plimptona na Uniwersytecie Columbia, przedstawiona na rysunku 3 (z prawej). Tabliczka zawiera liczby zapisane w czterech kolumnach i piętnastu wierszach. W ostatniej kolumnie znajdują się po prostu numery wierszy od 1 do 10. W 1945 roku historycy nauki Otto Neugebauer i Abraham Sachs[3] doszli do wniosku, że kwadrat wartości podanej w trzeciej kolumnie (nazwijmy go c) pomniejszony o kwadrat wartości zawartej w drugiej kolumnie (dajmy na to b) daje wartość będącą kwadratem pewnej liczby (na przykład a). Schemat ten jest przekształceniem wzoru a^2 + b^2 = c^2, co mogłoby sugerować, że tabliczka zawiera spis trójek pitagorejskich. W takim wypadku należałoby jednak poprawić cztery oczywiste błędy. Niestety nie można stwierdzić na pewno, czy Plimpton 322 ma cokolwiek wspólnego z trójkami pitagorejskimi, a nawet jeśli tak jest, nie da się wykluczyć, że tabliczka nie jest po prostu spisem boków trójkątów, dla których łatwo było wyznaczyć pola powierzchni. Tego rodzaju narzędzie można było z powodzeniem wykorzystywać do przybliżania wyników dla innych trójkątów czy wręcz innych kształtów, może nawet do wykonywania pomiarów odległości na ziemi.

W tamtych czasach istniała jeszcze jedna cywilizacja słynąca z równie podniosłych odkryć – egipska. Pewne poszlaki wskazują na to, że Pitagoras mógł w młodości odwiedzić Egipt. Niektórzy badacze utrzymują, że w czasie tej podróży zetknął się ze słynnym dziś twierdzeniem i jedynie przedstawił je Grekom. Udało się wprawdzie znaleźć dowody potwierdzające tę teorię, lecz są one bardzo nieliczne i wymagają specjalistycznej wiedzy. Często słyszy się – szczególnie w kontekście rozważań nad technologią budowy piramid – że Egipcjanie wyznaczali kąty proste, konstruując trójkąt o bokach 3–4–5. Miało to polegać na odwzorowaniu układu boków za pomocą sznurka z dwunastoma węzłami wyznaczającymi równe odległości. Słyszy się też, że archeolodzy odnaleźli tak przygotowane sznurki. Wystarczy jednak zastanowić się chwilę, by dojść do wniosku, że żadne z przytoczonych tu stwierdzeń nie ma sensu. Opisana metoda wyznaczania kątów prostych nie dawałaby wystarczająco dokładnych rezultatów. Pamiętajmy, że sznurek jest rozciągliwy, a wyznaczenie równych odcinków za pomocą węzełków – niemal niemożliwe. Piramidy z Gizy są zbudowane z dokładnością znacznie przewyższającą wyniki, jakie można by osiągnąć, stosując tak prymitywne narzędzie. Znacznie bardziej praktycznym rozwiązaniem byłoby posłużenie się narzędziem przypominającym kątownik ciesielski – dodam, że archeolodzy odnaleźli pozostałości po tego typu przedmiotach. Badacze zgłębiający zagadnienia związane z matematyką starożytnego Egiptu nie znaleźli dowodów na stosowanie sznurków do wyznaczania odległości w trójkącie prostokątnym o bokach 3–4–5, nie odkryto też żadnych pozostałości po narzędziu tego rodzaju. Zatem, choć pomysł jest niewątpliwie uroczy, można z niemal stuprocentową pewnością uznać go za wymysł.

Gdyby Pitagoras znalazł się jakimś cudem w naszym świecie, byłby zdumiony. W jego czasach wiedza medyczna była w powijakach, źródło światła stanowiły świece i pochodnie, a najszybszą formą przekazywania wiadomości było wysłanie konnego posłańca. Znany świat zamykał się w obszarze Europy, Azji i Afryki – nie słyszano o Amerykach, Australii, Arktyce czy Antarktyce. Wiele kultur przyjmowało, że świat jest płaski: miał mieć kształt dysku czy kwadratu wyznaczonego czterema punktami głównymi. Mimo odkryć poczynionych przez starożytnych Greków ten ostatni pogląd zakorzenił się silnie w czasach średniowiecza, czego dowodem są mapy orbis terrae, jak ta przedstawiona na rysunku 4.

Kto pierwszy zdał sobie sprawę, że Ziemia jest okrągła? Jeśli wierzyć Diogenesowi Laertiosowi, greckiemu biografowi z III wieku n.e., człowiekiem tym był Pitagoras. W swoich Żywotach i poglądach słynnych filozofów, dziele zawierającym zbiór myśli filozoficznych i biografii ich twórców, będącym obecnie jednym z najważniejszych źródeł historycznych poświęconych prywatnemu życiu filozofów starożytnej Grecji, znajdujemy uwagę: „Choć Teofrast przypisuje to twierdzenie Parmenidesowi, a Zenon Hezjodowi, to właśnie Pitagoras pierwszy zasugerował, że Ziemia jest kulą”. Grecy bardzo często łączyli wielkie odkrycia ze słynnymi filozofami z przeszłości niezależnie od tego, kto rzeczywiście ich dokonał, zatem cytaty tego rodzaju nie mają wielkiej wartości dowodowej, ale jednocześnie nie sposób zaprzeczyć, że od V wieku p.n.e. wszyscy liczący się greccy filozofowie i matematycy przyjmowali kulistość Ziemi. O ile możemy to stwierdzić, pogląd ten ukształtował się właśnie w czasach Pitagorasa, niewykluczone więc, że zrodził się właśnie w jego szkole. Oczywiście równie dobrze mogła być to wiedza powszechna w tamtym okresie, wniosek wypływający w sposób bezdyskusyjny z obserwacji okrągłego cienia, jaki rzuca Ziemia na powierzchnię Księżyca w czasie zaćmienia, czy też wyciągany na podstawie analogii do kształtu naszego satelity.

Rysunek 4. Mapa świata wykonana około 1100 roku przez marokańskiego kartografa al-Idrisiego dla króla Sycylii Rogera.

Mimo tak rewolucyjnych wniosków dotyczących kształtu Ziemi nawet dla Greków nasza planeta stanowiła środek Wszechświata, wokół którego poruszały się wszystkie ciała niebieskie. Jedyną metodą prowadzenia nawigacji była nawigacja zliczeniowa – obserwowanie gwiazd i śledzenie linii brzegowej. Równanie Pitagorasa zrewolucjonizowało żeglugę. Można powiedzieć, że wprowadziło ludzkość na drogę, która wiodła ostatecznie do zrozumienia geografii i poznania miejsca naszej planety w Układzie Słonecznym. Dzięki niemu wykonaliśmy pierwszy znaczący krok w kierunku rozwinięcia kartografii, nawigacji i miernictwa. Wreszcie to właśnie twierdzenie Pitagorasa dało podstawy do powiązania geometrii z algebrą. Bezpośrednio z niego wypłynęły odkrycia, które ostatecznie doprowadziły do stworzenia ogólnej teorii względności i dały podstawy współczesnej kosmologii, o czym przeczytasz więcej w rozdziale 13. Równanie Pitagorasa otworzyło ludzkości drogę do nowych odkryć – dosłownie i w przenośni. Pozwoliło nam poznać kształt świata i określić nasze miejsce we Wszechświecie.

Reszta w pełnej wersji

1 Tytuł tego rozdziału pochodzi właśnie z jednej z takich książek, Tajemnica zielonej pieczęci autorstwa H. Ożogowskiej (przyp. tłum.).

2 Wspominanej bez podania źródeł na stronie http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Babylonian_Pythagoras.html.

3 A. Sachs, A. Goetze i O. Neugebauer, Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Society, New Haven 1945.

Rozdział 2. Jak skrócić czas obliczeń?

Logarytmowanie

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 3. Duchy wielkości minionych

Rachunek różniczkowy

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 4. Istota świata

Prawo powszechnego ciążenia Newtona

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 5. Obietnica świata idealnego

Pierwiastek z minus jeden

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 6. Wiele hałasu o nić

Wzór Eulera opisujący wielościany

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 7. Koleje losu

Rozkład normalny

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 8. Pozytywne wibracje

Równanie falowe

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 9. Zmarszczki i pulsy

Transformata Fouriera

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 10. Wzlot ludzkości

Równanie Naviera–Stokesa

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 11. Fale w eterze

Równania Maxwella

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 12. Prawo i nieporządek

Druga zasada termodynamiki

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 13. Jedno jest bezwzględnie pewne

Względność

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 14. Kwantowe szaleństwo

Równanie Schrödingera

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 15. Kody, komunikaty i komputery

Teoria informacji

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 16. Natura nie lubi równowagi

Teoria chaosu

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 17. Wzór Midasa

Równanie Blacka–Scholesa

Dostępne w pełnej wersji

Co dalej?

Dostępne w pełnej wersji

Ilustracje

Dostępne w pełnej wersji

Table of Contents

Dlaczego właśnie równania?

Rozdział 1. W obie strony jednakowe spodnie Pitagorasowe: Twierdzenie Pitagorasa

Rozdział 2. Jak skrócić czas obliczeń?: Logarytmowanie

Rozdział 3. Duchy wielkości minionych: Rachunek różniczkowy

Rozdział 4. Istota świata: Prawo powszechnego ciążenia Newtona

Rozdział 5. Obietnica świata idealnego: Pierwiastek z minus jeden

Rozdział 6. Wiele hałasu o nić: Wzór Eulera opisujący wielościany

Rozdział 7. Koleje losu: Rozkład normalny

Rozdział 8. Pozytywne wibracje: Równanie falowe

Rozdział 9. Zmarszczki i pulsy: Transformata Fouriera

Rozdział 10. Wzlot ludzkości: Równanie Naviera–Stokesa

Rozdział 11. Fale w eterze: Równania Maxwella

Rozdział 12. Prawo i nieporządek: Druga zasada termodynamiki

Rozdział 13. Jedno jest bezwzględnie pewne: Względność

Rozdział 14. Kwantowe szaleństwo: Równanie Schrödingera

Rozdział 15. Kody, komunikaty i komputery: Teoria informacji

Rozdział 16. Natura nie lubi równowagi: Teoria chaosu

Rozdział 17. Wzór Midasa: Równanie Blacka–Scholesa

Co dalej?

Ilustracje